Calculadora de dodecaedro truncado

Um dodecaedro truncado é um sólido arquimediano obtido ao cortar cada vértice de um dodecaedro regular até que as faces pentagonais originais se tornem decágonos regulares e novos triângulos equiláteros apareçam nos antigos vértices. O caso uniforme tem doze faces decagonais regulares, vinte faces triangulares equiláteras, noventa arestas iguais e sessenta vértices. Dada uma única comprimento de aresta comum positiva a, fórmulas fechadas respondem às duas medidas mais consultadas: o volume é cinco doze avos vezes noventa e nove mais quarenta e sete vezes a raiz quadrada de cinco vezes a ao cubo, e a área superficial total é a soma de vinte áreas de triângulos equiláteros e doze áreas de decágonos regulares, que se simplifica a cinco vezes a raiz de três mais seis vezes a raiz de cinco mais duas raízes de cinco, tudo vezes a ao quadrado. Estudantes, fabricantes, pré-checagens de CAD e fluxos de embalagem obtêm números estáveis sem instalar uma biblioteca de poliedros em cada máquina.

O que volume e área superficial significam para um dodecaedro truncado

Um dodecaedro truncado uniforme é um dos treze sólidos arquimedianos: cada face é um polígono regular, cada aresta tem o mesmo comprimento a e a figura de vértice é a mesma em cada canto. O sólido carrega doze faces decagonais regulares que vêm do truncamento das faces do dodecaedro original, e vinte faces triangulares equiláteras que aparecem onde os vértices foram cortados. A área superficial é a soma de vinte áreas de triângulos equiláteros e doze áreas de decágonos regulares.

Cada triângulo tem área raiz quadrada de três sobre quatro vezes a ao quadrado; cada decágono regular tem área cinco meios vezes a raiz de cinco mais duas raízes de cinco vezes a ao quadrado. Multiplicar e somar produz a forma fechada compacta cinco vezes a quantidade raiz de três mais seis vezes a raiz de cinco mais duas raízes de cinco, tudo vezes a ao quadrado.

O volume usa a fórmula arquimediana clássica V igual a cinco doze avos vezes noventa e nove mais quarenta e sete raízes de cinco vezes a ao cubo — o espaço fechado do sólido quando as noventa arestas valem a. As unidades permanecem coerentes com a unidade de comprimento que você passar para a: metros geram metros cúbicos de volume e metros quadrados de área; polegadas geram polegadas cúbicas e quadradas.

Uma verificação clássica de sala de aula é a igual a um: o volume é cinco doze avos vezes noventa e nove mais quarenta e sete raízes de cinco, e a superfície é cinco vezes raiz de três mais seis raízes de cinco mais duas raízes de cinco. A aresta dois multiplica o volume por oito e a superfície por quatro. Aresta zero é degenerada e rejeitada; uma aresta negativa nunca é uma medida geométrica válida sob este contrato.

A aritmética é multiplicações e raízes elementares após a coerção, sem iteração, sem amostragem Monte Carlo, sem dependência do relógio de parede e sem necessidade de coordenadas de face nem ângulos diedros na entrada. Sólidos relacionados como um dodecaedro regular simples, um truncamento irregular com arestas desiguais, um tetraedro truncado ou um tronco de cone exigem outras fórmulas e ficam fora do escopo aqui.

Dicas práticas, limites e buscas relacionadas

Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: aresta um frente às expressões radicais clássicas; aresta dois para a escala de volume por oito e superfície por quatro; e uma aresta negativa para demonstrar o caminho de rejeição rígida. Esta página visa quem busca uma calculadora de dodecaedro truncado ou volume e área de sólido arquimediano a partir da aresta; não é uma ferramenta geral de malhas de poliedros, nem um solucionador só de dodecaedro regular, nem uma calculadora de tronco de cone.

Prefira esta ferramenta quando você já conhece a aresta uniforme e precisa de volume mais superfície total de uma só vez. Verificações de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que a área superficial é vinte vezes a área do triângulo mais doze vezes a área do decágono, e que a área superficial é cinco vezes raiz de três mais seis raízes de cinco mais duas raízes de cinco vezes a ao quadrado.

Se você precisa apenas de um dodecaedro regular sem truncamento, use a calculadora de volume de dodecaedro; se precisa de um tetraedro truncado, use esse irmão arquimediano; se precisa de um cone truncado a partir de dois raios e altura, use a calculadora de tronco de cone em vez de forçar um modelo arquimediano.