Dodécaèdre tronqué

Un dodécaèdre tronqué est un solide archimédien obtenu en coupant chaque sommet d'un dodécaèdre régulier jusqu'à ce que les faces pentagonales d'origine deviennent des décagones réguliers et que de nouveaux triangles équilatéraux apparaissent aux anciens sommets. Le cas uniforme compte douze faces décagonales régulières, vingt faces triangulaires équilatérales, quatre-vingt-dix arêtes égales et soixante sommets. Pour une seule longueur d'arête commune positive a, des formules fermées répondent aux deux mesures les plus recherchées : le volume vaut cinq douzièmes fois quatre-vingt-dix-neuf plus quarante-sept fois la racine carrée de cinq fois a au cube, et l'aire totale est la somme de vingt aires de triangles équilatéraux et de douze aires de décagones réguliers, qui se simplifie en cinq fois la racine de trois plus six fois la racine de cinq plus deux racines de cinq, le tout multiplié par a au carré. Étudiants, fabricants, contrôles CAD préalables et flux d'emballage obtiennent des chiffres stables sans installer une bibliothèque de polyèdres sur chaque machine.

Ce que signifient volume et aire pour un dodécaèdre tronqué

Un dodécaèdre tronqué uniforme est l'un des treize solides archimédiens : chaque face est un polygone régulier, chaque arête a la même longueur a, et la figure de sommet est identique à chaque coin. Le solide porte douze faces décagonales régulières issues du tronquage des faces du dodécaèdre d'origine, et vingt faces triangulaires équilatérales qui apparaissent là où les sommets ont été coupés. L'aire est la somme de vingt aires de triangles équilatéraux et de douze aires de décagones réguliers.

Chaque triangle a pour aire la racine de trois sur quatre fois a au carré ; chaque décagone régulier a pour aire cinq demis fois la racine de cinq plus deux racines de cinq fois a au carré. Multiplier et additionner donne la forme fermée compacte cinq fois la quantité racine de trois plus six fois la racine de cinq plus deux racines de cinq, le tout multiplié par a au carré.

Le volume utilise la formule archimédienne classique V égal à cinq douzièmes fois quatre-vingt-dix-neuf plus quarante-sept racines de cinq fois a au cube — l'espace enfermé du solide lorsque les quatre-vingt-dix arêtes valent a. Les unités restent cohérentes avec l'unité de longueur que vous passez pour a : des mètres donnent des mètres cubes de volume et des mètres carrés d'aire ; des pouces donnent des pouces cubes et carrés.

Un contrôle classique en classe est a égal à un : le volume est cinq douzièmes fois quatre-vingt-dix-neuf plus quarante-sept racines de cinq, et la surface est cinq fois racine de trois plus six racines de cinq plus deux racines de cinq. L'arête deux multiplie le volume par huit et la surface par quatre. L'arête nulle est dégénérée et rejetée ; une arête négative n'est jamais une mesure géométrique valide sous ce contrat.

L'arithmétique se limite à des multiplications et racines élémentaires après coercition, sans itération, sans échantillonnage Monte Carlo, sans dépendance à l'horloge murale et sans besoin de coordonnées de faces ni d'angles dièdres en entrée. Des solides voisins comme un dodécaèdre régulier simple, un tronquage irrégulier à arêtes inégales, un tétraèdre tronqué ou un tronc de cône exigent d'autres formules et restent hors périmètre ici.

Conseils pratiques, limites et recherches associées

En enseignement, préférez des exemples appariés : arête un face aux expressions radicales classiques ; arête deux pour l'échelle volume par huit et surface par quatre ; et une arête négative pour démontrer le rejet strict. Cette page vise qui cherche un calculateur de dodécaèdre tronqué ou le volume et l'aire d'un solide archimédien à partir de l'arête ; ce n'est pas un outil général de maillage de polyèdres, ni un solveur de dodécaèdre régulier seul, ni un calculateur de tronc de cône.

Préférez cet outil lorsque vous connaissez déjà l'arête uniforme et avez besoin du volume plus l'aire totale en un seul appel. Les contrôles aller-retour sont simples : après résolution, confirmez que l'aire égale vingt fois l'aire du triangle plus douze fois l'aire du décagone, et que l'aire égale cinq fois racine de trois plus six racines de cinq plus deux racines de cinq fois a au carré.

Si vous n'avez besoin que d'un dodécaèdre régulier sans tronquage, utilisez le calculateur de volume de dodécaèdre ; pour un tétraèdre tronqué, utilisez ce frère archimédien ; pour un cône tronqué à partir de deux rayons et d'une hauteur, utilisez le calculateur de tronc de cône plutôt que de forcer un modèle archimédien.