Tétraèdre tronqué

Un tétraèdre tronqué est un solide archimédien obtenu en coupant chaque sommet d'un tétraèdre régulier jusqu'à ce que les faces triangulaires d'origine deviennent des hexagones réguliers et que de nouveaux triangles équilatéraux apparaissent aux anciens sommets. Le cas uniforme a quatre faces hexagonales régulières, quatre faces triangulaires équilatérales, dix-huit arêtes égales et douze sommets. Pour une seule longueur d'arête commune positive a, des formules fermées répondent aux deux mesures les plus recherchées : le volume vaut vingt-trois fois la racine carrée de deux sur douze multiplié par a au cube, et l'aire totale vaut sept fois la racine carrée de trois multiplié par a au carré. Élèves, fabricants, précontrôles CAD et flux d'emballage obtiennent des chiffres stables sans installer une bibliothèque de polyèdres sur chaque machine.

Ce que signifient volume et aire pour un tétraèdre tronqué

Un tétraèdre tronqué uniforme est l'un des treize solides archimédiens : chaque face est un polygone régulier, chaque arête a la même longueur a et la figure de sommet est identique à chaque coin. Le solide porte quatre faces hexagonales régulières issues du troncage des faces du tétraèdre d'origine, et quatre faces triangulaires équilatérales qui apparaissent là où les sommets ont été coupés. L'aire totale est la somme de quatre aires de triangles équilatéraux et de quatre aires d'hexagones réguliers.

Chaque triangle a pour aire la racine de trois sur quatre fois a au carré ; chaque hexagone régulier a pour aire trois racines de trois sur deux fois a au carré. Multiplier et additionner donne la forme fermée compacte sept fois la racine de trois fois a au carré. Le volume utilise la formule archimédienne classique V égal à vingt-trois fois la racine de deux sur douze fois a au cube — l'espace enfermé du solide lorsque les dix-huit arêtes valent a.

Les unités restent cohérentes avec l'unité de longueur que vous passez pour a : des mètres donnent des mètres cubes de volume et des mètres carrés d'aire ; des pouces donnent des pouces cubes et carrés. Un contrôle classique en classe est a égal à un : le volume est vingt-trois racines de deux sur douze et la surface est sept racines de trois. L'arête deux multiplie le volume par huit et la surface par quatre.

L'arête nulle est dégénérée et rejetée ; une arête négative n'est jamais une mesure géométrique valide sous ce contrat. L'arithmétique se réduit à des multiplications et racines élémentaires après coercion, sans itération, sans échantillonnage Monte Carlo, sans dépendance à l'horloge murale et sans besoin de coordonnées de faces ni d'angles dièdres en entrée. Des solides apparentés comme un tétraèdre régulier simple, un troncage irrégulier aux arêtes inégales ou un tronc de cône exigent d'autres formules et sortent du périmètre ici.

Conseils pratiques, limites et recherches liées

En enseignement, préférez des exemples appariés : arête un face aux expressions radicales classiques ; arête deux pour le contrôle d'échelle volume multiplié par huit et surface par quatre ; et une arête négative pour montrer le rejet strict. Cette page cible ceux qui cherchent un calculateur de tétraèdre tronqué ou le volume et l'aire d'un solide archimédien à partir de l'arête ; ce n'est pas un outil général de maillage de polyèdres, ni un solveur uniquement de tétraèdre régulier, ni un calculateur de tronc de cône.

Préférez cet outil lorsque vous connaissez déjà l'arête uniforme et avez besoin du volume plus l'aire totale en une seule fois. Les contrôles aller-retour sont simples : après résolution, confirmez que l'aire totale égale quatre fois l'aire du triangle plus quatre fois l'aire de l'hexagone, et que l'aire totale égale sept racines de trois fois a au carré.

Si vous n'avez besoin que d'un tétraèdre régulier sans troncage, utilisez le calculateur de volume de tétraèdre ; si vous avez besoin d'un cône tronqué (tronc de cône) à partir de deux rayons et d'une hauteur, utilisez le calculateur de tronc de cône au lieu de forcer un modèle archimédien.