Icosidodécaèdre tronqué

Un icosidodécaèdre tronqué est un solide archimédien obtenu en tronquant sommets et arêtes d'un dodécaèdre ou icosaèdre régulier jusqu'à ce que chaque face soit un polygone régulier et chaque arête de même longueur. Le solide uniforme—aussi appelé grand rhombicosidodécaèdre—comporte trente faces carrées, vingt faces hexagonales régulières, douze faces décagonales régulières, cent quatre-vingts arêtes égales et cent vingt sommets. Avec une seule longueur d'arête commune positive a, des formules fermées répondent aux deux mesures les plus consultées : le volume vaut quatre-vingt-quinze plus cinquante fois la racine carrée de cinq, le tout multiplié par a au cube, et l'aire totale vaut trente fois un plus la racine de trois plus la racine de cinq plus deux racines de cinq, le tout multiplié par a au carré. Élèves, fabricants, précontrôles CAO et flux d'emballage obtiennent des chiffres stables sans installer une bibliothèque de polyèdres sur chaque machine.

Ce que signifient volume et aire pour un icosidodécaèdre tronqué

Un icosidodécaèdre tronqué uniforme est l'un des treize solides archimédiens : chaque face est un polygone régulier, chaque arête a la même longueur a, et la figure de sommet est identique à chaque coin. Le solide porte trente faces carrées, vingt faces hexagonales régulières issues d'une troncature coordonnée d'origines triangulaires et pentagonales, et douze faces décagonales régulières issues de la troncature plus profonde de la structure pentagonale. L'aire est la somme de trente aires de carrés unitaires, vingt aires d'hexagones réguliers et douze aires de décagones réguliers.

Chaque carré a pour aire a au carré ; chaque hexagone régulier a pour aire trois racines de trois sur deux fois a au carré ; chaque décagone régulier a pour aire cinq demis fois la racine de cinq plus deux racines de cinq fois a au carré. Multiplier et additionner donne la forme fermée compacte trente fois la quantité un plus la racine de trois plus la racine de cinq plus deux racines de cinq, le tout multiplié par a au carré.

Le volume utilise la formule archimédienne classique V égal à quatre-vingt-quinze plus cinquante racines de cinq multiplié par a au cube : l'espace enfermé du solide lorsque les cent quatre-vingts arêtes valent a. Les unités restent cohérentes avec l'unité de longueur que vous passez pour a : des mètres donnent des mètres cubes de volume et des mètres carrés d'aire ; des pouces donnent des pouces cubes et carrés.

Un contrôle classique en classe est a égal à un : le volume est quatre-vingt-quinze plus cinquante racines de cinq, et la surface est trente fois un plus racine de trois plus racine de cinq plus deux racines de cinq. L'arête deux multiplie le volume par huit et la surface par quatre. L'arête nulle est dégénérée et rejetée ; une arête négative n'est jamais une mesure géométrique valide sous ce contrat.

L'arithmétique est multiplications et racines élémentaires après coercion, sans itération, sans échantillonnage Monte Carlo, sans dépendance à l'horloge et sans besoin de coordonnées de faces ni d'angles dièdres en entrée. Des solides voisins tels qu'un icosidodécaèdre simple, une troncature irrégulière à arêtes inégales, un dodécaèdre tronqué, un tétraèdre tronqué ou un tronc de cône exigent d'autres formules et sont hors périmètre ici.

Conseils pratiques, limites et recherches associées

Pour enseigner, préférez des exemples appariés : arête un face aux expressions radicales classiques ; arête deux pour l'échelle volume par huit et surface par quatre ; et une arête négative pour démontrer le rejet strict. Cette page cible qui cherche un calculateur d'icosidodécaèdre tronqué, le volume du grand rhombicosidodécaèdre, ou volume et aire d'un solide archimédien à partir de l'arête ; ce n'est pas un outil général de maillages polyédriques, ni un solveur d'icosidodécaèdre seul, ni un calculateur de tronc de cône.

Préférez cet outil lorsque vous connaissez déjà l'arête uniforme et avez besoin du volume plus l'aire totale en un seul coup. Les contrôles aller-retour sont faciles : après résolution, confirmez que l'aire égale trente fois l'aire du carré plus vingt fois l'aire de l'hexagone plus douze fois l'aire du décagone, et que l'aire égale trente fois un plus racine de trois plus racine de cinq plus deux racines de cinq multiplié par a au carré.

Si vous n'avez besoin que d'un dodécaèdre tronqué sans la famille complète de l'icosidodécaèdre, utilisez le calculateur de dodécaèdre tronqué ; pour un tétraèdre tronqué, utilisez ce frère archimédien ; pour un cône tronqué à partir de deux rayons et d'une hauteur, utilisez le calculateur de tronc de cône au lieu de forcer un modèle archimédien.