Dodecaedro troncato

Un dodecaedro troncato è un solido archimedeo ottenuto tagliando ogni vertice di un dodecaedro regolare finché le facce pentagonali originali diventano decagoni regolari e compaiono nuovi triangoli equilateri ai vecchi vertici. Il caso uniforme ha dodici facce decagonali regolari, venti facce triangolari equilatere, novanta spigoli uguali e sessanta vertici. Data una sola lunghezza di spigolo comune positiva a, formule chiuse rispondono alle due misure più cercate: il volume è cinque dodicesimi per novantanove più quarantasette volte la radice quadrata di cinque per a al cubo, e l'area totale è la somma di venti aree di triangoli equilateri e dodici aree di decagoni regolari, che si semplifica in cinque per la radice di tre più sei volte la radice di cinque più due radici di cinque, il tutto per a al quadrato. Studenti, fabbricanti, controlli CAD preliminari e flussi di imballaggio ottengono cifre stabili senza installare una libreria di poliedri su ogni macchina.

Cosa significano volume e area per un dodecaedro troncato

Un dodecaedro troncato uniforme è uno dei tredici solidi archimedei: ogni faccia è un poligono regolare, ogni spigolo ha la stessa lunghezza a e la figura di vertice è la stessa a ogni angolo. Il solido porta dodici facce decagonali regolari che derivano dal troncamento delle facce del dodecaedro originale, e venti facce triangolari equilatere che compaiono dove i vertici sono stati tagliati. L'area è la somma di venti aree di triangoli equilateri e dodici aree di decagoni regolari.

Ogni triangolo ha area radice di tre su quattro per a al quadrato; ogni decagono regolare ha area cinque mezzi per la radice di cinque più due radici di cinque per a al quadrato. Moltiplicare e sommare produce la forma chiusa compatta cinque per la quantità radice di tre più sei volte la radice di cinque più due radici di cinque, il tutto per a al quadrato.

Il volume usa la formula archimedea classica V uguale a cinque dodicesimi per novantanove più quarantasette radici di cinque per a al cubo — lo spazio racchiuso del solido quando i novanta spigoli valgono a. Le unità restano coerenti con l'unità di lunghezza che Lei passa per a: i metri danno metri cubi di volume e metri quadrati di area; i pollici danno pollici cubi e quadrati.

Un controllo classico in classe è a uguale a uno: il volume è cinque dodicesimi per novantanove più quarantasette radici di cinque, e la superficie è cinque per radice di tre più sei radici di cinque più due radici di cinque. Lo spigolo due moltiplica il volume per otto e la superficie per quattro. Lo spigolo zero è degenere e rifiutato; uno spigolo negativo non è mai una misura geometrica valida sotto questo contratto.

L'aritmetica è moltiplicazioni e radici elementari dopo la coercizione, senza iterazione, senza campionamento Monte Carlo, senza dipendenza dall'orologio di parete e senza bisogno di coordinate di faccia né angoli diedri in ingresso. Solidi correlati come un dodecaedro regolare semplice, un troncamento irregolare con spigoli disuguali, un tetraedro troncato o un tronco di cono richiedono altre formule e restano fuori ambito qui.

Suggerimenti pratici, limiti e ricerche correlate

Nell'insegnamento, preferisca esempi appaiati: spigolo uno contro le espressioni radicali classiche; spigolo due per la scala volume per otto e superficie per quattro; e uno spigolo negativo per dimostrare il rifiuto rigoroso. Questa pagina si rivolge a chi cerca un calcolatore di dodecaedro troncato o volume e area di un solido archimedeo dallo spigolo; non è uno strumento generale di mesh di poliedri, né un risolutore solo di dodecaedro regolare, né un calcolatore di tronco di cono.

Preferisca questo strumento quando conosce già lo spigolo uniforme e le serve volume più area totale in un colpo solo. I controlli di andata e ritorno sono semplici: dopo la risoluzione, confermi che l'area è venti volte l'area del triangolo più dodici volte l'area del decagono, e che l'area è cinque per radice di tre più sei radici di cinque più due radici di cinque per a al quadrato.

Se le serve solo un dodecaedro regolare senza troncamento, usi il calcolatore di volume del dodecaedro; se le serve un tetraedro troncato, usi quel fratello archimedeo; se le serve un cono troncato da due raggi e un'altezza, usi il calcolatore di tronco di cono invece di forzare un modello archimedeo.