Calcolatore di tetraedro

Un tetraedro regolare è il solido platonico più semplice: quattro facce triangolari equilatere, sei spigoli uguali e quattro vertici. Data una sola lunghezza di spigolo positiva a, formule chiuse rispondono alle misure più consultate in geometria scolastica, imballaggio e pre-controlli CAD. Il volume è a al cubo per la radice di due, diviso dodici—lo spazio racchiuso del solido. L'area totale di superficie è a al quadrato per la radice di tre, perché quattro facce equilatere congruenti contribuiscono ciascuna un quarto di quel prodotto. L'altezza da un vertice alla faccia opposta è a per la radice di sei su tre. Il raggio della sfera inscritta (inraggio) è a per la radice di sei su dodici—il raggio della sfera più grande che sta dentro e tocca le quattro facce.

Cosa significano volume, superficie, altezza e inraggio per un tetraedro regolare

Un tetraedro regolare ha quattro facce triangolari equilatere congruenti; ogni spigolo ha la stessa lunghezza a, e ogni angolo di faccia è sessanta gradi. La formula del volume V equals a cubed times the square root of two over twelve è la forma chiusa classica ottenuta integrando sezioni triangolari o collocando il solido in coordinate con spigolo a e calcolando un sesto del valore assoluto del prodotto misto di tre vettori di spigolo da un vertice comune.

L'area di superficie è quattro volte l'area di un triangolo equilatero: ogni faccia ha area square root of three over four times a squared, quindi la superficie totale è square root of three times a squared. L'altezza H da un vertice dritto alla faccia opposta è a times square root of six over three; quell'altitudine incontra la faccia nel baricentro, e la stessa geometria dà l'inraggio r equals a times square root of six over twelve—la distanza dal centro del tetraedro a qualsiasi faccia.

Le unità restano coerenti con l'unità di lunghezza passata per a: i metri danno metri cubi di volume e metri quadrati di area; i pollici danno pollici cubi e quadrati. Un controllo classico in classe è a equals two: il volume è two thirds times square root of two, la superficie è four times square root of three, l'altezza è two thirds times square root of six, e l'inraggio è one sixth times square root of six.

L'aritmetica è moltiplicazioni elementari e radici dopo la coercizione, senza iterazione, senza campionamento Monte Carlo, senza dipendenza dall'orologio di parete, e senza bisogno di coordinate di faccia o angoli diedri in ingresso. Solidi correlati come tetraedri irregolari con spigoli disuguali, piramidi quadrate o prismi triangolari richiedono formule diverse e sono fuori ambito qui.

Consigli pratici, limiti e ricerche correlate

Insegnando, preferisca esempi appaiati: spigolo two contro i valori classici di controllo a mano; spigolo one per il tetraedro unitario con volume square root of two over twelve e superficie square root of three; e uno spigolo zero o negativo per dimostrare il percorso di rifiuto duro. Questa pagina punta a chi cerca un calcolatore di volume di tetraedro o area, altezza e inraggio di tetraedro regolare dalla lunghezza dello spigolo; non è uno strumento generale di mesh poliedriche né un solver di tetraedro irregolare.

Preferisca questo strumento quando conosce già la lunghezza dello spigolo regolare e necessita volume più superficie, altezza e inraggio in un colpo solo. I controlli andata e ritorno sono facili: dopo la risoluzione, confermi che surface area equals four times face area, che height equals three times the insphere radius times four over something—specificamente che insphere radius equals height over four per un tetraedro regolare—e che circumradius equals three times the insphere radius.

Se Le serve solo l'area di un triangolo piano da tre lati, usi la capacità della formula di Erone; se Le serve il volume di un cilindro da raggio e altezza, usi il calcolatore di volume del cilindro invece di forzare un modello di tetraedro.