Tetraeder-Rechner

Ein reguläres Tetraeder ist der einfachste platonische Körper: vier gleichseitige Dreiecksflächen, sechs gleiche Kanten und vier Ecken. Bei einer einzigen positiven Kantenlänge a beantworten geschlossene Formeln die Maße, die in Schulgeometrie, Packung und CAD-Vorprüfungen am häufigsten nachgeschlagen werden. Das Volumen ist a hoch drei mal Wurzel zwei, geteilt durch zwölf—der eingeschlossene Raum des Körpers. Die Gesamtoberfläche ist a zum Quadrat mal Wurzel drei, weil vier kongruente gleichseitige Flächen je ein Viertel dieses Produkts beitragen. Die Höhe von einer Ecke zur gegenüberliegenden Fläche ist a mal Wurzel sechs über drei. Der Inkreisradius (Inradius) ist a mal Wurzel sechs über zwölf—der Radius der größten Kugel, die innen sitzt und alle vier Flächen berührt.

Was Volumen, Oberfläche, Höhe und Inradius beim regulären Tetraeder bedeuten

Ein reguläres Tetraeder hat vier kongruente gleichseitige Dreiecksflächen; jede Kante hat dieselbe Länge a, und jeder Flächenwinkel beträgt sechzig Grad. Die Volumenformel V equals a cubed times the square root of two over twelve ist die klassische geschlossene Form, gewonnen durch Integration dreieckiger Querschnitte oder durch Platzieren des Körpers in Koordinaten mit Kantenlänge a und Berechnen eines Sechstels des Absolutwerts des skalaren Dreifachprodukts dreier Kantenvektoren von einer gemeinsamen Ecke.

Die Oberfläche ist viermal die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks: jede Fläche hat Fläche square root of three over four times a squared, also ist die Gesamtoberfläche square root of three times a squared. Die Höhe H von einer Ecke senkrecht zur gegenüberliegenden Fläche ist a times square root of six over three; diese Höhe trifft die Fläche im Schwerpunkt, und dieselbe Geometrie liefert den Inradius r equals a times square root of six over twelve—den Abstand vom Tetraederzentrum zu jeder Fläche.

Einheiten bleiben konsistent mit der Längeneinheit, die Sie für a übergeben: Meter ergeben Kubikmeter Volumen und Quadratmeter Fläche; Zoll ergeben Kubik- und Quadratzoll. Eine klassische Klassenprüfung ist a equals two: das Volumen ist two thirds times square root of two, die Oberfläche four times square root of three, die Höhe two thirds times square root of six, und der Inradius one sixth times square root of six.

Die Arithmetik ist elementare Multiplikationen und Quadratwurzeln nach Koerzierung, ohne Iteration, ohne Monte-Carlo-Sampling, ohne Wanduhr-Abhängigkeit und ohne Bedarf an Flächenkoordinaten oder Diederwinkeln in der Eingabe. Verwandte Körper wie irreguläre Tetraeder mit ungleichen Kanten, quadratische Pyramiden oder dreieckige Prismen brauchen andere Formeln und sind hier außer Scope.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Beim Lehren bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: Kante two gegen die klassischen Handprüfwerte; Kante one für das Einheits-Tetraeder mit Volumen square root of two over twelve und Oberfläche square root of three; und eine null oder negative Kante für den harten Ablehnungspfad. Bevorzugen Sie dieses Tool, wenn Sie die reguläre Kantenlänge bereits kennen und Volumen plus Oberfläche, Höhe und Inradius in einem Schuss brauchen.

Round-Trip-Checks sind einfach: nach dem Lösen bestätigen Sie, dass surface area equals four times face area, dass height equals three times the insphere radius times four over something—speziell dass insphere radius equals height over four für ein reguläres Tetraeder—und dass circumradius equals three times the insphere radius. Wenn Sie nur die ebene Dreiecksfläche aus drei Seiten brauchen, nutzen Sie die Heron-Fähigkeitsseite; wenn Sie Zylindervolumen aus Radius und Höhe brauchen, den Zylindervolumen-Rechner statt ein Tetraeder-Modell zu erzwingen.