Calculadora de tetraedro

Um tetraedro regular é o sólido platônico mais simples: quatro faces triangulares equiláteras, seis arestas iguais e quatro vértices. Dada uma única comprimento de aresta positiva a, fórmulas fechadas respondem às medidas mais consultadas em geometria escolar, empacotamento e pré-checagens CAD. O volume é a ao cubo vezes a raiz de dois, dividido por doze—o espaço fechado do sólido. A área total de superfície é a ao quadrado vezes a raiz de três, porque quatro faces equiláteras congruentes contribuem cada uma com um quarto desse produto. A altura de um vértice até a face oposta é a vezes a raiz de seis sobre três. O raio da esfera inscrita (inraio) é a vezes a raiz de seis sobre doze—o raio da maior esfera que cabe dentro e toca as quatro faces.

O que volume, superfície, altura e inraio significam em um tetraedro regular

Um tetraedro regular tem quatro faces triangulares equiláteras congruentes; toda aresta tem o mesmo comprimento a, e todo ângulo de face é sessenta graus. A fórmula do volume V equals a cubed times the square root of two over twelve é a forma fechada clássica obtida integrando seções triangulares ou colocando o sólido em coordenadas com aresta a e calculando um sexto do valor absoluto do produto misto de três vetores de aresta a partir de um vértice comum.

A área de superfície é quatro vezes a área de um triângulo equilátero: cada face tem área square root of three over four times a squared, então a superfície total é square root of three times a squared. A altura H de um vértice reto até a face oposta é a times square root of six over three; essa altitude encontra a face no centróide, e a mesma geometria dá o inraio r equals a times square root of six over twelve—a distância do centro do tetraedro a qualquer face.

As unidades permanecem consistentes com a unidade de comprimento que você passa para a: metros dão metros cúbicos de volume e metros quadrados de área; polegadas dão polegadas cúbicas e quadradas. Uma checagem clássica de sala é a equals two: o volume é two thirds times square root of two, a superfície é four times square root of three, a altura é two thirds times square root of six, e o inraio é one sixth times square root of six.

A aritmética é multiplicações elementares e raízes após coerção, sem iteração, sem amostragem Monte Carlo, sem dependência do relógio de parede e sem necessidade de coordenadas de face ou ângulos diedros na entrada. Sólidos relacionados como tetraedros irregulares com arestas desiguais, pirâmides quadradas ou prismas triangulares precisam de fórmulas diferentes e estão fora do escopo aqui.

Dicas práticas, limites e buscas relacionadas

Ao ensinar, prefira exemplos pareados: aresta two contra os valores clássicos de checagem à mão; aresta one para o tetraedro unitário com volume square root of two over twelve e superfície square root of three; e aresta zero ou negativa para demonstrar o caminho de rejeição dura. Esta página visa quem busca calculadora de volume de tetraedro ou área, altura e inraio de tetraedro regular a partir do comprimento da aresta; não é ferramenta geral de malha de poliedros nem solver de tetraedro irregular.

Prefira esta ferramenta quando você já conhece o comprimento da aresta regular e precisa de volume mais superfície, altura e inraio de uma vez. Checagens de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que surface area equals four times face area, que height equals three times the insphere radius times four over something—especificamente que insphere radius equals height over four para um tetraedro regular—e que circumradius equals three times the insphere radius.

Se você só precisa da área de um triângulo plano por três lados, use a capacidade da fórmula de Heron; se precisa de volume de cilindro por raio e altura, use a calculadora de volume de cilindro em vez de forçar um modelo de tetraedro.