Calculadora de elipsoide

Um elipsoide triaxial é o sólido obtido ao esticar uma esfera unitária de forma independente ao longo de três eixos mutuamente perpendiculares. Ele modela planetas, ovos, bolas de rúgbi, fundos de tanques e muitas primitivas de CAD com mais fidelidade do que uma esfera pura quando os três comprimentos principais diferem. Dados semieixos positivos a, b e c medidos na mesma unidade de comprimento, o volume tem uma forma fechada simples: quatro terços de π vezes a vezes b vezes c. A área de superfície não tem forma fechada elementar para o caso geral; o padrão prático de engenharia é a aproximação de Knud Thomsen, que eleva os produtos aos pares dos eixos potenciados, tira a média, extrai a raiz de ordem p com p igual a 1.6075 e multiplica por quatro π. O erro relativo permanece pequeno para excentricidade moderada e a fórmula se reduz à área exata da esfera quando a é igual a b e a c.

O que significam o volume e a área de superfície de Knud Thomsen para um elipsoide

Um elipsoide triaxial é definido por três semieixos positivos a, b e c ao longo de direções principais ortogonais; todo ponto da superfície satisfaz x ao quadrado sobre a ao quadrado mais y ao quadrado sobre b ao quadrado mais z ao quadrado sobre c ao quadrado igual a um. O volume decorre de imediato do alongamento linear de uma bola unitária: V é igual a quatro terços π a b c.

Quando a é igual a b e a c, ambos iguais a r, isso se reduz ao conhecido volume da esfera, quatro terços π r ao cubo. A área de superfície é mais difícil: a expressão exata envolve integrais elípticas incompletas de primeira e segunda espécies e não se simplifica para a, b e c arbitrários.

Knud Thomsen propôs uma aproximação compacta amplamente usada em tabelas e softwares de engenharia: S é aproximadamente quatro π vezes a quantidade abre parêntese a elevado a p vezes b elevado a p mais a elevado a p vezes c elevado a p mais b elevado a p vezes c elevado a p, tudo sobre três, fecha parêntese, elevada à potência um sobre p, com o expoente fixo p igual a 1.6075.

As unidades permanecem consistentes com a unidade de comprimento que você passar para a, b e c — metros geram metros cúbicos de volume e metros quadrados de área; polegadas geram polegadas cúbicas e quadradas. A aritmética é um punhado de multiplicações e uma potência após a coerção, portanto não há iteração, nem amostragem de Monte Carlo, nem dependência do relógio do sistema.

Dicas práticas, limites e buscas relacionadas

Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: a três, b dois, c um para um sólido claramente triaxial; a um, b um, c um para uma esfera unitária em que o volume é quatro terços π e a área de superfície é quatro π; e um eixo zero ou negativo para demonstrar o caminho de rejeição rígida.

Esta página mira quem busca uma calculadora de volume de elipsoide ou a área de superfície de Knud Thomsen a partir de três semieixos; ela não é um resolvedor de cilindro, tetraedro ou integrais elípticas exatas. Prefira esta ferramenta quando você já conhece os três semieixos principais e precisa do volume mais uma superfície aproximada padrão de uma só vez.

Verificações de ida e volta são fáceis: após resolver um caso de esfera, confirme que o volume é quatro terços π r ao cubo e a superfície é quatro π r ao quadrado; para eixos desiguais, confirme que o volume escala com o produto a b c quando você dobra um eixo.

Se você precisar apenas de um cilindro circular reto a partir de raio e altura, use a calculadora dedicada de volume de cilindro; se precisar de um tetraedro regular a partir da aresta, use a ferramenta de tetraedro em vez de forçar eixos degenerados de elipsoide.