Volume di un ellissoide: calcolatore con area di Knud Thomsen

Un ellissoide triassiale è il solido che si ottiene dilatando una sfera unitaria in modo indipendente lungo tre assi mutuamente perpendicolari. Modella pianeti, uova, palloni da rugby, fondi di serbatoi e molte primitive CAD con maggiore fedeltà di una sfera pura quando le tre lunghezze principali differiscono. Dati tre semiassi positivi a, b e c misurati nella stessa unità di lunghezza, il volume ha una forma chiusa semplice: quattro terzi di π per a per b per c. L'area superficiale non ha una forma chiusa elementare nel caso generale; lo standard ingegneristico pratico è l'approssimazione di Knud Thomsen, che eleva i prodotti a coppie degli assi potenziati, ne fa la media, estrae la radice p-esima con p uguale a 1.6075 e moltiplica per quattro π. L'errore relativo resta contenuto per eccentricità moderate e la formula collassa nell'area esatta della sfera quando a è uguale a b uguale a c.

Cosa significano volume e area superficiale di Knud Thomsen per un ellissoide

Un ellissoide triassiale è definito da tre semiassi positivi a, b e c lungo direzioni principali ortogonali; ogni punto della superficie soddisfa x al quadrato su a al quadrato più y al quadrato su b al quadrato più z al quadrato su c al quadrato uguale a uno. Il volume segue immediatamente dalla dilatazione lineare di una palla unitaria: V uguale a quattro terzi π a b c. Quando a uguale b uguale c uguale r, si riduce al noto volume della sfera quattro terzi π r al cubo.

L'area superficiale è più difficile: l'espressione esatta coinvolge integrali ellittici incompleti di prima e seconda specie e non si semplifica per a, b e c arbitrari.

Knud Thomsen propose un'approssimazione compatta ampiamente usata nelle tavole ingegneristiche e nel software: S circa uguale a quattro π per la quantità, aperta parentesi, a alla p per b alla p più a alla p per c alla p più b alla p per c alla p, tutto diviso tre, chiusa parentesi, elevato alla potenza uno su p, con l'esponente fisso p uguale a 1.6075.

Le unità restano coerenti con qualsiasi unità di lunghezza passi per a, b e c: i metri danno metri cubi di volume e metri quadrati di area; i pollici danno pollici cubi e quadrati. L'aritmetica è una manciata di moltiplicazioni e una potenza dopo la conversione, quindi niente iterazioni, niente campionamento Monte Carlo e nessuna dipendenza dall'orologio di sistema.

Consigli pratici, limiti e ricerche correlate

Nell'insegnamento preferisca esempi accoppiati: a tre, b due, c uno per un solido chiaramente triassiale; a uno, b uno, c uno per una sfera unitaria in cui il volume è quattro terzi π e l'area superficiale è quattro π; e un asse nullo o negativo per dimostrare il percorso di rifiuto netto. Questa pagina si rivolge a chi cerca un calcolatore del volume dell'ellissoide o l'area superficiale di Knud Thomsen da tre semiassi; non è un risolutore di cilindri, tetraedri o integrali ellittici esatti.

Preferisca questo strumento quando conosce già i tre semiassi principali e le servono volume più una superficie approssimata standard in una sola operazione. Le verifiche di andata e ritorno sono facili: dopo aver risolto un caso sferico, confermi che il volume è quattro terzi π r al cubo e la superficie quattro π r al quadrato; per assi disuguali, confermi che il volume scala con il prodotto a b c quando raddoppia un asse.

Se le serve solo un cilindro circolare retto da raggio e altezza, usi il calcolatore dedicato del volume del cilindro; se le serve un tetraedro regolare dalla lunghezza dello spigolo, usi lo strumento del tetraedro invece di forzare assi degeneri dell'ellissoide.