Area di superficie ellissoide

Un ellissoide triassiale è il solido che si ottiene allungando una sfera unitaria in modo indipendente lungo tre assi mutuamente perpendicolari. Pianeti, uova, palloni da rugby, fondi di serbatoio e molte primitive CAD sono più vicini a un ellissoide che a una sfera pura quando le tre lunghezze principali differiscono. Quando Le serve solo la pelle esterna—vernice, imballo, placcatura, area di scambio termico o un controllo di compiti che non chiede mai il volume—questo calcolatore dell'area di superficie dell'ellissoide trasforma tre semiassi positivi in un'area approssimata pratica. L'area esatta di un ellissoide generale coinvolge integrali ellittici incompleti ed è scomoda per script rapidi; lo standard ingegneristico è l'approssimazione di Knud Thomsen con esponente fisso p uguale a 1.6075, esatta per una sfera e vicina con eccentricità moderata.

Cosa significa l'area di superficie approssimata dell'ellissoide e perché bastano tre semiassi

Un ellissoide triassiale è definito da tre semiassi positivi a, b e c lungo direzioni principali ortogonali; ogni punto sulla superficie soddisfa x al quadrato su a al quadrato più y al quadrato su b al quadrato più z al quadrato su c al quadrato uguale a uno.

Il volume ha una forma chiusa semplice, ma questa pagina è deliberatamente orientata alla superficie: chi cerca un calcolatore dell'area di superficie dell'ellissoide di solito vuole la misura esterna per rivestimenti, film di imballaggio, radiatori o problemi d'esame che non menzionano mai la capacità. L'area esatta con assi disuguali richiede integrali ellittici incompleti di prima e seconda specie e non si semplifica per a, b e c arbitrari.

Knud Thomsen ha proposto un'approssimazione compatta ampiamente usata in tabelle e software di ingegneria: S vale circa quattro π moltiplicato per la quantità parentesi aperta a alla p per b alla p più a alla p per c alla p più b alla p per c alla p, tutto diviso tre, parentesi chiusa, elevata a uno su p, con l'esponente fisso p uguale a 1.6075. Le unità restano coerenti con l'unità di lunghezza che invia—i metri danno metri quadrati; i pollici, pollici quadrati.

Anche gli assi nulli vengono rifiutati perché non descrivono un solido di estensione positiva. L'aritmetica è un pugno di moltiplicazioni e una potenza dopo la coercizione, senza iterazione, senza campionamento Monte Carlo e senza dipendenza dall'orologio di sistema.

Suggerimenti pratici, limiti e intento di ricerca solo di superficie

Nell'insegnamento, preferisca esempi appaiati: a tre, b due, c uno per un solido chiaramente triassiale con area vicina a quarantanove; a cinque, b cinque, c cinque per una sfera in cui l'area è esattamente cento π entro l'arrotondamento; e un asse negativo come c uguale a meno uno per dimostrare il percorso di rifiuto rigido. Poiché l'area qui è approssimata, etichetti i risultati come Knud Thomsen nei report e non rivendichi la precisione degli integrali ellittici per eccentricità estreme.

Questa pagina mira a chi cerca un calcolatore dell'area di superficie dell'ellissoide o un'area di pelle approssimata da tre semiassi; non è un calcolatore di volume, un cilindro, un tetraedro né un risolutore esatto di integrali ellittici. Preferisca questo strumento quando conosce già i tre semiassi principali e le serve solo la misura esterna in un colpo solo.

I controlli andata e ritorno sono semplici: dopo un caso sferico, confermi che la superficie è quattro π r al quadrato; per assi disuguali, confermi che raddoppiare i tre assi moltiplica l'area per quattro. Se Le serve anche il volume oltre alla superficie, usi uno strumento completo di metriche dell'ellissoide invece di inventare una seconda chiamata qui.