Calcolatore sferoide prolato

Uno sferoide prolato è il solido che si ottiene ruotando un’ellisse attorno al suo asse maggiore: i due semiassi equatoriali sono uguali e il semiasse polare è maggiore o uguale. È il modello naturale di palloni da rugby, palloni da football americano, alcune figure planetarie, fondi di serbatoio allungati e molte primitive CAD con aspetto di sfera stirata. Dati un raggio equatoriale a positivo e un raggio polare c con c maggiore o uguale ad a, il volume è esatto: quattro terzi di pi per a al quadrato per c. L’area di superficie ha pure una forma chiusa con il fattore di eccentricità e pari alla radice quadrata di uno meno a al quadrato su c al quadrato; poi moltiplica due pi a al quadrato per uno più c su a e per l’arcoseno di e. Quando a è uguale a c l’eccentricità si annulla e la superficie si riduce ai familiari quattro pi a al quadrato di una sfera.

Cosa significano volume e area per uno sferoide prolato

Uno sferoide prolato è un ellissoide di rotazione speciale: i due semiassi equatoriali valgono a e il semiasse polare vale c con c maggiore o uguale ad a. In forma cartesiana ogni punto della superficie soddisfa x al quadrato su a al quadrato più y al quadrato su a al quadrato più z al quadrato su c al quadrato uguale a uno. Il volume segue dallo stiramento di una palla unitaria lungo quelle direzioni principali: V vale quattro terzi di pi per a al quadrato per c.

Quando a è uguale a c e uguale a r si ottiene il volume della sfera quattro terzi di pi per r al cubo. L’area di uno sferoide prolato ha un’espressione elementare esatta, a differenza dell’ellissoide triassiale generale. Si definisce l’eccentricità e dell’ellisse generatrice come la radice di uno meno a al quadrato su c al quadrato.

Allora l’area S vale due pi a al quadrato per (uno più c su a e per arcoseno di e). Quando e tende a zero, arcoseno di e su e tende a uno e S tende a quattro pi a al quadrato; per questo l’implementazione tratta a parte il limite sferico invece di dividere per un e nullo.

Le unità restano coerenti con l’unità di lunghezza che Lei fornisce per entrambi i raggi: i metri danno metri cubi di volume e metri quadrati di area; i pollici danno pollici cubi e quadrati. Raggi nulli o negativi vengono rifiutati perché non descrivono un solido di estensione positiva. Anche l’equatoriale maggiore del polare è rifiutato affinché il contratto prolato resti onesto, senza scambiare assi in silenzio né inventare un valore assoluto.

L’aritmetica è un pugno di moltiplicazioni, una radice e un seno inverso dopo la coercizione: nessuna iterazione, nessun campionamento Monte Carlo, nessuna dipendenza dall’orologio di sistema.

Suggerimenti pratici, limiti e ricerche correlate

Nell’insegnamento preferisca esempi accoppiati: equatoriale due e polare quattro per un solido chiaramente allungato; equatoriale uno e polare uno per una sfera unitaria in cui il volume è quattro terzi di pi e l’area è quattro pi; ed equatoriale tre con polare due per mostrare il rifiuto rigido quando la misura equatoriale supera quella polare.

Questa pagina intercetta chi cerca un calcolatore di sferoide prolato o volume e area da raggi equatoriale e polare; non è uno strumento di ellissoide triassiale generale, né un calcolatore oblato, né un percorso di approssimazione Knud Thomsen. Preferisca questo strumento quando conosce già i due raggi prolati e le serve volume esatto più area esatta in un colpo solo.

I controlli andata-ritorno sono semplici: dopo il caso sferico, confermi volume uguale a quattro terzi di pi a al cubo e area uguale a quattro pi a al quadrato; con raggi diversi, confermi che il volume scala con a al quadrato per c raddoppiando l’asse polare. Se le servono tre semiassi distinti, usi il calcolatore di ellissoide triassiale; se le serve una sfera pura da un solo raggio, usi gli strumenti sfera dedicati invece di forzare raggi prolati uguali.