Calcolatrice iperbole: fuochi, vertici, eccentricità e asintoti
Inserisca i due semiassi di un'iperbole e ottenga tutti i suoi elementi: semiassi 3 e 4 danno fuochi in ±5, vertici in ±3, eccentricità 5/3 e asintoti di pendenza ±4/3. Pronto per correzioni e schizzi. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Semiasse trasverso
- 3
- Semiasse coniugato
- 4
- C
- 5
- A al quadrato
- 9
- B al quadrato
- 16
- C al quadrato
- 25
Un'iperbole in coordinate cartesiane è definita da due semiassi positivi: a lungo l'asse trasverso e b lungo l'asse coniugato. Da quei due numeri si ricava l'eccentricità lineare c come radice quadrata di a al quadrato più b al quadrato, si posizionano i vertici in più e meno a sull'asse x, si posizionano i fuochi in più e meno c, si forma l'eccentricità e uguale a c fratto a (sempre maggiore di uno per un'iperbole non degenere) e si leggono le pendenze degli asintoti come più e meno b fratto a.
Che cosa significano i semiassi e come funzionano le formule
Parta dall'equazione orizzontale standard: x al quadrato fratto a al quadrato meno y al quadrato fratto b al quadrato uguale a uno, con il centro nell'origine e l'asse trasverso lungo x. Il parametro a è il semiasse trasverso: ogni vertice si trova in (a, 0) e (−a, 0), quindi la distanza dal centro a un vertice è esattamente a. Il parametro b è il semiasse coniugato; insieme a e b costruiscono il rettangolo che tocca gli asintoti e fissa l'apertura dei rami.
L'eccentricità lineare è c uguale alla radice quadrata positiva di a al quadrato più b al quadrato, sempre maggiore di a quando b è positivo, il che forza l'eccentricità e uguale a c fratto a a superare uno. I due fuochi si trovano in (c, 0) e (−c, 0). Gli asintoti sono le rette y uguale a (b fratto a) x e y uguale a meno (b fratto a) x, quindi le pendenze degli asintoti riportate sono semplicemente più e meno b fratto a.
Un controllo classico è a uguale a tre e b uguale a quattro: allora c uguale a cinque, e uguale a cinque terzi, vertici in più e meno tre sull'asse x, fuochi in più e meno cinque e pendenze più e meno quattro terzi. Ogni passaggio è aritmetica elementare con una sola radice quadrata su due scalari positivi, quindi non c'è iterazione, nessun campionamento e nessuna dipendenza dall'orologio di sistema.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Nell'insegnamento, preferisca esempi accoppiati: tre e quattro per il controllo pitagorico c uguale a cinque; cinque e dodici per un'altra c intera; e una prova non positiva come a uguale a zero o b negativo per dimostrare il percorso di rifiuto netto che protegge chi chiama da una figura degenere.
Questa pagina si rivolge a chi cerca una calcolatrice di iperbole, uno strumento per fuochi e vertici o un aiuto per le pendenze degli asintoti; non è una calcolatrice di ellissi: le ellissi usano c al quadrato uguale ad a al quadrato meno b al quadrato con eccentricità minore di uno. Preferisca questo strumento quando il manuale fornisce i semiassi a e b per la forma orizzontale e le servono fuochi, vertici, e e pendenze in un colpo solo.
I controlli di andata e ritorno sono facili: dopo la risoluzione, confermi che c al quadrato sia uguale ad a al quadrato più b al quadrato, che e sia uguale a c fratto a e che le pendenze degli asintoti siano uguali a più e meno b fratto a entro la tolleranza in virgola mobile.
Casi d'uso
Soluzioni per lezioni di precalcolo e geometria analitica
Generi numeri per le soluzioni di iperboli orizzontali senza un CAS, incluse stringhe di equazioni e coppie di pendenze per i fogli di lavoro.
Schizzi tecnici che richiedono fuochi e asintoti
Recuperi rapidamente distanza interfocale e pendenze degli asintoti quando un brief di progetto elenca solo i due semiassi di un ramo iperbolico.
Domande frequenti
Quali input richiede la calcolatrice di iperbole?
Due numeri positivi: a (semiasse trasverso) e b (semiasse coniugato).
Come vengono calcolati i fuochi?
Prima si forma c = sqrt(a² + b²). Per l'iperbole orizzontale standard i fuochi si trovano in (c, 0) e (−c, 0).
Che cos'è l'eccentricità di un'iperbole?
L'eccentricità e = c/a con c = sqrt(a² + b²). Per qualsiasi a e b positivi, e è strettamente maggiore di 1.
Quali sono le pendenze degli asintoti?
Per x²/a² − y²/b² = 1 gli asintoti sono y = ±(b/a)x, quindi le pendenze sono +b/a e −b/a.
La calcolatrice di iperbole è gratuita?
Lo strumento nel browser è gratuito e funziona in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 3,
"b": 4
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.hyperbola",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs | 1000000000000 |
min_positive | 1e-15 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Questa capacità racchiude quel percorso in forma chiusa in un'unica risposta JSON deterministica, così studenti che verificano i compiti, docenti che scrivono le soluzioni e ingegneri che verificano la geometria asintotica orbitale o ottica ottengono tutti gli stessi valori arrotondati nello strumento gratuito del browser e nel percorso API prepagato: nessun sistema di algebra computazionale, nessun seme casuale e nessuna chiamata di rete dentro il risolutore.
Come chiamare l'API e che cosa ritorna
Lo usi da pipeline di compiti di geometria analitica, script di ripasso di precalcolo, sandbox per preparazione ai colloqui, schizzi di ottica e portata radio che richiedono pendenze di asintoti, o qualsiasi flusso di lavoro che necessiti di elementi dell'iperbole riproducibili senza installare un pacchetto di algebra computazionale su ogni macchina. Invii un corpo JSON con due campi obbligatori. Il campo a è il semiasse trasverso positivo; sono accettati gli alias semi_transverse e semi_a. Il campo b è il semiasse coniugato positivo; gli alias semi_conjugate e semi_b hanno lo stesso significato. In caso di successo la risposta riporta a e b, aggiunge c, a_squared, b_squared, c_squared, eccentricity, vertices come due punti, foci come due punti, asymptote_slopes come la coppia più e meno b fratto a, stringhe degli asintoti leggibili, la stringa dell'equazione standard, orientation horizontal, transverse_axis x, center nell'origine e un breve blocco formula che documenta le forme chiuse. Una convalida fallita (campo obbligatorio mancante, numero non finito, semiasse non positivo, valore fuori dai limiti pubblicati o una c ricavata che va in overflow) restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è una tariffa fissa di $0.002 per richiesta riuscita con unità item e prezzo marginale unitario zero.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Mantenga a e b nell'intervallo positivo pubblicato fino a mille miliardi, così i quadrati intermedi e la somma sotto radice restano finiti in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. Le unità sono quelle che passa lei (metri, unità astronomiche o unità astratte pure), purché a e b condividano la stessa unità; l'API non converte le unità per lei. Poiché l'eccentricità è sempre maggiore di uno per a e b positivi, gli studenti possono ricalcolare c ed e a mano per piccoli interi e confrontare riga per riga con l'API. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando gli utenti digitano semiassi impossibili mentre imparano il contratto.
Casi di integrazione
Verifiche di compiti sugli elementi standard dell'iperbole
Assegni agli studenti i semiassi a e b; confronti c, eccentricità, vertici, fuochi e pendenze degli asintoti calcolati a mano con un risultato API deterministico o gratuito nel browser.