Eccentricità dell'iperbole

L'eccentricità di un'iperbole misura quanto nettamente la curva si apre rispetto a un cerchio: per ogni iperbole standard è strettamente maggiore di uno. Dati il semiasse traverso a e il semiasse coniugato b, la formula chiusa è e uguale alla radice quadrata di uno più b al quadrato su a al quadrato, che è la stessa cosa dell'eccentricità lineare c divisa per a. Questa capacità accetta quelle due lunghezze positive di semiasse e restituisce l'eccentricità insieme a c, così che verifiche di compiti, strumenti CAD e pipeline di geometria possano riutilizzare un unico risultato deterministico invece di riderivare il radicale a mano.

Che cosa significa l'eccentricità dell'iperbole

Nella geometria delle sezioni coniche un'iperbole è l'insieme dei punti la cui differenza in valore assoluto delle distanze da due fuochi fissi è costante. Quella costante è 2a, la lunghezza completa dell'asse traverso, mentre la distanza dal centro a ciascun fuoco è c. L'eccentricità è definita come e uguale a c su a.

Poiché i fuochi giacciono sempre fuori dai vertici di un'iperbole, c è strettamente maggiore di a, quindi e è sempre maggiore di uno—a differenza di un'ellisse, dove e resta tra zero e uno, o di una parabola, dove e è uguale a uno. Il semiasse coniugato b è legato dall'identità c al quadrato uguale ad a al quadrato più b al quadrato. Sostituendo quell'identità nella definizione si ottiene la comoda formula operativa e uguale alla radice quadrata di uno più b al quadrato su a al quadrato.

Manuali, problemi di gara ed esercizi di analogia orbitale usano tutti questo numero adimensionale per confrontare iperboli di dimensioni diverse: due iperboli con la stessa e sono simili; una e più grande significa un angolo più aperto e più netto tra gli asintoti. Calcolare e a mano è breve algebra, ma gli studenti spesso mescolano la formula dell'ellisse con quella dell'iperbole, scambiano a e b, o dimenticano che a deve essere il semiasse traverso.

Come la capacità calcola la risposta

Entrambi devono essere finiti e strettamente positivi; lo zero viene respinto perché la divisione per a sarebbe indefinita o degenere, e qualsiasi lunghezza negativa viene respinta perché un semiasse è una lunghezza geometrica, non una coordinata con segno. Le due espressioni sono algebricamente equivalenti; il doppio output le permette di verificare e rispetto a c diviso a nel codice client, se lo desidera. La risposta riporta a, b, c ed eccentricità come numeri.

L'algoritmo è una manciata di moltiplicazioni e una radice quadrata per percorso, quindi resta ben dentro il modello di costo analitico usato per prezzare questa capacità parse di tier A.

Dove usarlo e quanto costa

Le collocazioni tipiche includono la verifica delle risposte degli studenti che chiedono l'eccentricità dati a e b, la generazione di righe di catalogo di iperboli simili che condividono e mentre a e b scalano, la documentazione della geometria degli asintoti per disegni tecnici e l'alimentazione di e in classificatori di coniche più ampi che già conoscono i semiassi da un fit. Il percorso del browser gira in locale e non richiede alcun account.

Mantenga a e b positivi e finiti affinché il radicale sia ben definito, tratti la c restituita come l'eccentricità lineare ai fuochi, e preferisca il campo eccentricità calcolato dal server anziché riderivare la radice quadrata in codice client che potrebbe usare un percorso in virgola mobile diverso.