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双曲線の離心率

2つの半軸から、双曲線がどれだけ開いているかが分かります。半軸3と4なら焦点までの距離は5、離心率は5/3です。楕円と違い、双曲線の離心率は必ず1より大きくなります。ブラウザで無料で使えます。

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  • ブラウザで動作
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ご利用方法 ウェブAPIメールTelegramアプリ 近日
入力した場合
A
3
B
4
結果
C
5
離心率
1.6666666667

双曲線の離心率は、その曲線が円と比べてどれだけ鋭く開くかを表す量で、標準的な双曲線ではいずれも厳密に 1 より大きくなります。半横軸 a と半共役軸 b が与えられると、閉じた公式 e は 1 に b の 2 乗を a の 2 乗で割ったものを加えた値の平方根に等しく、これは線離心率 c を a で割ったものと同じです。この機能は 2 つの正の半軸の長さを受け取り、離心率を c とともに返すため、宿題の確認、CAD の補助、幾何のパイプラインが、手作業で根号を再導出する代わりに 1 つの決定論的な結果を再利用できます。

双曲線の離心率が意味するもの

円錐曲線の幾何において、双曲線とは、2 つの定点である焦点への距離の差の絶対値が一定である点の集合です。その一定値は 2a、すなわち横軸の全長であり、中心から各焦点までの距離が c です。離心率は e は c を a で割ったものに等しい、と定義されます。

双曲線では焦点は常に頂点の外側にあるため、c は厳密に a より大きく、したがって e は常に 1 より大きくなります。これは e が 0 と 1 の間にとどまる楕円や、e が 1 に等しい放物線とは異なります。半共役軸 b は c の 2 乗が a の 2 乗に b の 2 乗を加えたものに等しい、という恒等式で関係づけられます。

この恒等式を定義に代入すると、便利な作業用公式 e は 1 に b の 2 乗を a の 2 乗で割ったものを加えた値の平方根に等しい、が得られます。教科書、コンテストの問題、軌道の類推演習は、いずれもこの無次元の数を用いて大きさの異なる双曲線を比較します。同じ e を持つ 2 つの双曲線は相似であり、e が大きいほど漸近線どうしの角が開いて鋭くなります。

e を手で計算するのは短い代数ですが、学生はしばしば楕円の公式と双曲線の公式を混同したり、a と b を取り違えたり、a が横半軸でなければならないことを忘れたりします。

この機能が答えを計算するしくみ

どちらも有限で厳密に正でなければなりません。ゼロは a による除算が未定義または退化するため拒否され、負の長さはいずれも、半軸が符号付き座標ではなく幾何学的な長さであるため拒否されます。両方の式は代数的に等価であり、二重の出力によって、必要であればクライアントコードで e を c を a で割った値と照合できます。

応答は a、b、c、離心率を数値として報告します。乱数も、時計への依存も、ネットワーク通信もありません。アルゴリズムは経路あたり数回の乗算と 1 回の平方根に過ぎないため、この tier-A の parse 機能の価格付けに用いる解析的コストモデルの十分内側にとどまります。

宿題と試験の確認

手計算の平方根を採点し直す代わりに、与えられた半軸 a と b に対する学生の離心率を、1 つの正準の e と c と照合します。

相似双曲線のカタログ

e を固定したまま a と b を拡縮したり、設計や教材向けに円錐曲線の表を作る際に形の族ごとに e を一度計算したりします。

a や b が負のときはどうなりますか?

半軸の長さは厳密に正の幾何学的な長さでなければならず、負の値は拒否されます。

離心率は常に 1 より大きいですか?

正の a と b を持つ非退化の双曲線ではそうです。b と a が正のとき、公式 sqrt(1 + b²/a²) は常に 1 より大きくなります。

双曲線の離心率の公式は何ですか?

1にbの2乗をaの2乗で割った値を足し、その平方根を取ります。これは焦点までの距離cをaで割った値と同じで、cの2乗はaの2乗とbの2乗の和です。

楕円の離心率とはどう違いますか?

楕円の離心率は0と1の間、放物線はちょうど1ですが、双曲線は常に1より大きくなります。楕円と双曲線の公式を取り違えるのはよくある間違いです。

離心率が大きいと何が分かりますか?

双曲線がより大きく開き、漸近線どうしの角度が広いことが分かります。離心率が同じ双曲線どうしは、大きさが違っても相似です。

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/hyperbola-eccentricity \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":3,"b":4}'
{
  "a": 3,
  "b": 4
}
{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.hyperbola_eccentricity",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

HTTPコード意味
401unauthorizedAPIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
402insufficient_balance残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
404unknown_type指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
429rate_limitedリクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

双曲線の離心率が意味するもの

検証済みの正の入力で計算を自動化すれば、こうした取り違えをなくしつつ、a、b、c、離心率を解の次のステップやパイプライン向けに 1 つの JSON オブジェクトで示せます。

この機能が答えを計算するしくみ

2 つの必須の数値フィールド、すなわち半横軸 a と半共役軸 b を持つ JSON 本体を送信します。エンジンは JSON の数値または単純な数値文字列から数を解析し、c を a の 2 乗に b の 2 乗を加えた値の平方根として、離心率を 1 に b の 2 乗を a の 2 乗で割ったものを加えた値の平方根として計算します。欠落したフィールド、非数値、ゼロ、負の半軸は invalid_input で失敗し、決して課金されません。同一の 2 つのリクエストは常に同じ JSON を生みます。

どこで使うか、そして費用

典型的な用途には、a と b から離心率を求める学生の答えの検証、a と b を拡縮しつつ e を共有する相似双曲線のカタログ行の生成、技術図面向けの漸近線幾何の記録、そして半軸をあてはめから既に知っている大きな円錐曲線分類器への e の供給などがあります。ブラウザーの経路はローカルで動作し、アカウントは不要です。検証に失敗した場合は残高を消費しません。1 組の半軸を手早く確認したいときは無料のブラウザーツールを、スクリプト、成績簿、設計ジョブが多数の双曲線を毎回同じように解く必要があるときは API をお使いください。API の利用は、成功した 1 リクエストあたり公表された $0.002 の基本価格で前払いの KIT 残高から引かれます。根号が明確に定まるよう a と b は正で有限に保ち、返される c は焦点までの線離心率として扱い、異なる浮動小数点経路を使うかもしれないクライアントコードで平方根を再導出するよりも、サーバーが計算した離心率フィールドを優先してください。

CAD と漸近線の準備

図面から測った半軸を API に渡し、記録やその後の幾何処理のために離心率を焦点距離 c の隣に保存します。

この API で双曲線の離心率をどう計算しますか。

正の数 a(半横軸)と b(半共役軸)を持つ JSON 本体を POST します。応答には離心率と線離心率 c が含まれます。

双曲線の離心率計算機は無料ですか。

ブラウザーウィジェットは無料でローカルに動作します。API 呼び出しは公表された $0.002 の基本価格で前払いの KIT 残高を使い、不正な入力には課金されません。

同じ a と b なら結果は常に同じですか。

はい。アルゴリズムは乱数もタイムスタンプもない純粋な解析的計算なので、同一の入力からは同一の JSON が得られます。

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