ForHosting KIT · 数学

楕円の一般形から標準形

Q: 非零の B（xy 項）は使えますか？

はい。 ソルバは二次形式を対角化し、主軸の回転を報告し、回転座標で標準形を書き出します。

一般形の2次方程式の6つの係数を入力すると、楕円の標準形が分かります。x² + 4y² − 4 = 0なら、原点を中心とし半軸が2と1の楕円です。傾いた楕円では回転角も示します。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

A: 1
B: 0
C: 4
D: 0
E: 0
F: -4

結果

H: 0
K: 0
長半径: 2
短半径: 1

B が零で数値が素直なら手計算の平方完成で足りますが、中心が原点からずれている場合、軸の向きが入れ替わる場合、xy 項が零でなく図形が回転している場合は誤りやすいです。本ツールは六つの係数を受け取り、判別式 B² − 4AC が負であることを確認し、一意な中心を解き、二次形式を対角化して、長短半軸・回転角・読みやすい標準形と一般形の式・短い公式ブロックを返します。

一般二次曲線の係数から楕円の標準形へ

種類は判別式 delta = B² − 4AC で決まり、負なら楕円型、零なら放物線型、正なら双曲線型です。楕円型だけでは足りません。軌跡は一点・空・退化の場合もあるため、本計算機は偏微分から得られる連立を解いて中心を復元し、その中心で並進後の定数項 g を評価し、二次形式行列の固有値から半軸の二乗を読み取ります。

実の非退化楕円では両方が厳密に正でなければならず、そうでなければ要求は拒否されます。B が零なら軸は座標軸に沿い、平方完成の見慣れた形 X²/a² + Y²/b² = 1（中心 h,k）が現れます。B が非零なら角度 theta の回転で主軸に揃え、応答はその角度を度とラジアンで報告し、回転座標での標準形を書き出します。

二つの半軸が一致する特別な場合が円で、このとき回転は零と報告されます。どの角度も同等だからです。一般係数と標準幾何の両方を知ることは、採点ルーブリック・CAD メモ・シェーダの uniform が展開多項式と中心・軸記述を自由に行き来するため重要です。

実務上のヒント・制限・関連検索

次に同じ図を中心 (1, −2) へ平行移動し、手計算の平方完成が h, k と両半軸に一致することを確かめてください。問題に xy 項があるときはスケッチだけで向きを推測せず、報告された回転と主半軸を信頼してください。固有ベクトルの規約は長軸角を安定した半周範囲に正規化し、反復呼び出しで符号が無意味に反転しないようにします。

単位はメートル・ピクセル・抽象ゲーム単位など一貫させます。計算機は単位換算を行いません。自動採点では非楕円を必ず硬失敗としてください。

判別式が正の双曲線を潰れた楕円として受理してはならず、点軌跡を半径零の軸として報告してはなりません。本ページは「楕円一般形標準形」「二次曲線係数変換」「A B C D E F から楕円の中心と半軸」などの検索意図向けであり、三点フィットの楕円当てはめでも、描画付きの全種二次曲線分類器でも、記号 CAS の手順一覧の代替でもありません。

成功後の往復確認は容易です。B が零なら復元幾何から一般多項式を組み立て係数が浮動小数許容内で一致するか、面積 pi×長半軸×短半軸が正かを確認します。

活用例

一般形から標準形への宿題チェック

学習者が教科書の係数を貼り付け、手計算の平方完成と回転角を決定的な中心・半軸・標準形の式と照合します。

展開された二次曲線の CAD・グラフィックス整理

展開されたシェーダやエクスポート多項式から中心・長短半軸・回転を復元し、コライダと描画が標準楕円パラメータを使えるようにします。

よくある質問

いつ楕円でないとして拒否されますか？

B² − 4AC が負でない（放物線型または双曲線型）とき、中心が解けないとき、または両半軸の二乗が厳密に正でない（点または虚の軌跡）ときです。

非零の B（xy 項）は使えますか？

はい。ソルバは二次形式を対角化し、主軸の回転を報告し、回転座標で標準形を書き出します。

判別式から何が分かりますか？

Bの2乗からAとCの積の4倍を引いた値で曲線の種類が分かり、負なら楕円型、0なら放物線、正なら双曲線です。x² + 4y² − 4 = 0では−16なので、楕円になりえます。

標準形のほかに何が分かりますか？

中心、長半軸と短半軸とその2乗、度とラジアンでの回転角、書き直した一般形の方程式が分かります。課題や図面に合わせて必要な形を写せます。

円の場合はどうなりますか？

円は2つの半軸が等しい特別な場合です。どの角度でも同じ形になるため、回転角は0として示します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": 0,
    "c": 4,
    "d": 0,
    "e": 0,
    "f": -4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": 0,
    "c": 4,
    "d": 0,
    "e": 0,
    "f": -4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":4,"d":0,"e":0,"f":-4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/ellipse-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "a": 1,
  "b": 0,
  "c": 4,
  "d": 0,
  "e": 0,
  "f": -4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.ellipse_standard_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

教科書・入試問題・CASの出力は、しばしば一般形の二次曲線 A x² + B xy + C y² + D x + E y + F = 0 を渡し、楕円の標準形を求めます。双曲線・放物線・点楕円・虚の軌跡は軸をでっち上げず invalid_input で失敗します。

一般二次曲線の係数から楕円の標準形へ

二変数の一般二次方程式は A x² + B xy + C y² + D x + E y + F = 0 です。並進後は A X² + B XY + C Y² + g = 0 となります。対角に A と C、非対角に B/2 をもつ行列の固有値 lambda1・lambda2 は、各主軸方向の座標の二乗に対し lambda_i 倍が −g に等しいので、各半軸の二乗は −g / lambda_i です。

API の呼び出し方と返却内容

必須の有限数 a, b, c, d, e, f を六つ含む JSON 本体を送ります。これらは A x² + B xy + C y² + D x + E y + F = 0 の係数 A…F に対応します。各欄は JSON 数でも数値文字列でもよく、別名 A〜F と coeff_a〜coeff_f は同じ六スロットに写像されるため、大文字の数学記法を既に使うクライアントに改名層は不要です。絶対値は公開上限の一兆以内に収め、Worker とブラウザ上の IEEE 倍精度で中間積が有限に保たれるようにします。成功時は六係数をエコーし、h と k および入れ子の center、semi_major と semi_minor（とその二乗）、rotation_deg と rotation_rad、is_circle、円錐曲線の判別式、可読な standard_equation と general_equation、閉形式を記した formula オブジェクトを返します。欠落欄・非有限値・範囲外・非負の判別式・特異な二次行列・二つの正の半軸二乗を生まない係数などの検証失敗は invalid_input を返し課金されません。料金は成功一回あたり定額 $0.002（単位 item）です。入力が既に展開係数なら本エンドポイントを優先し、既に中心と半軸があり焦点や周長だけが必要なら、一般形を迂回せず焦点専用や Ramanujan 周長ツールを使ってください。

実務上のヒント・制限・関連検索

まず軸に平行な教科書例 x²/4 + y² = 1（展開すると x² + 4y² − 4 = 0）から始め、API が原点中心・長半軸 2・短半軸 1・回転 0 を返すことを確認してください。invalid_input を返す失敗タスクは前払い残高を消費しないため、学習者が不可能な係数を打っても探索スクリプトは安く保てます。$0.002 は成功時のみです。

連携の活用例

試験ジェネレータと LMS 自動採点

実の非退化楕円のみを受け入れ、双曲線・放物線・点軌跡を invalid_input で拒否する再現可能な採点用オラクルです。

技術的な質問

楕円の一般形から標準形への計算機に必要な入力は？

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 の有限係数 a, b, c, d, e, f の六つです。別名 A–F と coeff_a–coeff_f も受け付けます。

成功時に何が返りますか？

中心 (h, k)、semi_major、semi_minor、度とラジアンの回転、is_circle、discriminant、standard_equation、general_equation、エコーされた係数、短い公式ブロックです。

計算機は無料ですか？

ブラウザ版は無料で、同じ純粋モジュールをローカル実行します。API 呼び出しは成功一回あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、失敗タスクは課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

楕円の一般形から標準形

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計算例

一般二次曲線の係数から楕円の標準形へ

実務上のヒント・制限・関連検索

活用例

一般形から標準形への宿題チェック

展開された二次曲線の CAD・グラフィックス整理

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

一般二次曲線の係数から楕円の標準形へ

API の呼び出し方と返却内容

実務上のヒント・制限・関連検索

連携の活用例

試験ジェネレータと LMS 自動採点

技術的な質問

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