ForHosting KIT · 数学

楕円の中心

Q: 回転した楕円でも動作しますか？

はい。 ゼロでない係数 B（xy 項）は回転を示し、同じ公式で処理されます。特別なモードは必要ありません。

楕円の中心を一般形の方程式から直接求めます。4x² + 9y² − 8x − 36y + 4 = 0 の中心は (1, 2) です。先に実在する楕円かどうかを確かめ、回転した楕円にも対応します。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

A: 4
B: 0
C: 9
D: -8
E: -36
F: 4

結果

H: 1
K: 2
判別式: -144

結果を返す前に、その方程式が本当に楕円であるかを検証します。判別式 B^2 − 4AC は負でなければならず、曲線は実在かつ非退化でなければなりません。xy 項がゼロでない回転した楕円も、軸に平行な楕円とまったく同じ方法で処理されます。方程式が放物線・双曲線・一点のみ・あるいは実曲線を持たない場合には、意味のない数値ではなく、明確な型付きエラーが返されます。

一般形から使える点へ

教科書の楕円方程式は標準形 (x − h)^2/a^2 + (y − k)^2/b^2 = 1 で現れ、中心は (h, k) としてそのまま読み取れます。しかし実務の方程式がそうなっていることは稀です。手計算では偏微分をゼロに置いて二元連立一次方程式を解くことになります。

単純ではありますが煩雑で、符号が絡むと間違えやすい作業です。六つの係数を送れば、安定した精度に丸められた中心座標が、判別式と使用した公式とともに返されます。結果は盲信するのではなく、検算して引用できます。

必須なのは A・C・F だけで、B・D・E は省略するとゼロになります。

係数から中心を復元する仕組み

分母こそ、楕円条件が重要な理由です。4AC − B^2 が正でなければならず、これは判別式 B^2 − 4AC が負であることと同値です。ただし判別式の検査だけでは、描画可能な楕円は保証されません。

そこでソルバーは円錐曲線をその中心自身で評価します。その値がゼロなら、曲線は一点に潰れた退化楕円です。その値が A + C と同符号なら、曲線は虚楕円です。

代数的には楕円の形をしていても、実点は一つもありません。どちらの場合も、失敗の内容を明示する型付きエラーで拒否されるため、パイプラインは不正な幾何と不正な入力を区別し、それぞれ異なる対応を取ることができます。

パイプラインのどこに組み込むか

円錐曲線の係数が現れ、下流で具体的な点が必要になる場面ならどこにでも使えます。検出したエッジ画素に楕円を当てはめる視覚システムは、最小二乗法の段階で係数を得ます。この呼び出しはそれらを追跡や計測に使う中心へと変換します。

CAD や幾何サービスは、代数を自前で実装せずに回転した楕円方程式を正規化できます。教育ツールは、平方完成した学生の答えを真の中心と照合できます。この能力は決定論的であり、同じ係数には常に同じ座標が返ります。

サンプリングも乱数もないため、テストのアサーションに安全に使えます。グローバルエッジ上で何も保存せずに実行され、同じソルバーのコードがこのページのブラウザ上で無料で動きます。

活用例

コンピュータビジョンの楕円フィッティングを後処理する

最小二乗法による楕円フィッティングは一般円錐曲線の係数を返します。一回の呼び出しで中心を復元し、追跡・計測・オーバーレイ描画に利用できます。

幾何サービスで回転した円錐曲線方程式を正規化する

xy 項がゼロでない場合、中心はもはや自明ではありません。ソルバーは B ≠ 0 を同じ閉形式の公式で処理します。

よくある質問

どの形の方程式を受け付けますか？

A・C・F は必須で、B・D・E は省略するとゼロになります。

中心はどのように計算されますか？

停留点の連立方程式 2Ah + Bk = −D と Bh + 2Ck = −E を解き、h = (BE − 2CD)/(4AC − B^2)、k = (BD − 2AE)/(4AC − B^2) を得ます。

方程式が楕円でない場合はどうなりますか？

判別式 B^2 − 4AC は負でなければならず、退化（一点のみ）または虚の楕円も、どちらのケースかを示すメッセージとともに拒否されます。

回転した楕円でも動作しますか？

はい。ゼロでない係数 B（xy 項）は回転を示し、同じ公式で処理されます。特別なモードは必要ありません。

6つの係数をすべて入力する必要がありますか？

いいえ、必須なのは A、C、F だけです。B、D、E を省くと0として扱われるので、原点を中心とし軸に沿った楕円ならそれで足ります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/center-of-ellipse

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/center-of-ellipse \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":4,"c":9,"f":-36}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/center-of-ellipse", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 4,
    "c": 9,
    "f": -36
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/center-of-ellipse",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 4,
    "c": 9,
    "f": -36
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/center-of-ellipse", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":4,"c":9,"f":-36}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":4,"c":9,"f":-36}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/center-of-ellipse", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "a": 4,
  "c": 9,
  "f": -36
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.center_of_ellipse",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

楕円の中心 API は、一般円錐曲線方程式 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 の六つの係数 A・B・C・D・E・F を受け取り、その方程式が表す楕円の中心座標 (h, k) を返します。

一般形から使える点へ

曲線フィッティング、コンピュータビジョン、軌道力学、衝突判定のいずれも、一般円錐曲線 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 を出力し、中心は係数の中に埋もれているため復元する必要があります。このエンドポイントは、その導出を一回の呼び出しで代行します。したがって、原点中心の楕円ならより短いリクエストで済みます。

係数から中心を復元する仕組み

円錐曲線の中心とは、両方の偏微分が消える点、すなわち 2Ax + By + D = 0 と Bx + 2Cy + E = 0 を満たす点です。この連立方程式を解くと h = (BE − 2CD)/(4AC − B^2)、k = (BD − 2AE)/(4AC − B^2) が得られます。

パイプラインのどこに組み込むか

係数を貼り付けてすぐに結果を確認してから、$0.002 / リクエストで自動化へ進むことができます。

連携の活用例

円錐曲線を受け入れる前に検証する

放物線・双曲線・点楕円・虚円錐曲線を、型付きの invalid_input エラーで拒否し、下流の計算への混入を防ぎます。

技術的な質問

料金はいくらですか？

1リクエストにつき $0.002 です。同じソルバーはこのページのブラウザ上でも無料で動作します。

何か保存されますか？

いいえ。係数は処理後に破棄され、返されるのは中心座標と診断フィールドのみです。

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楕円の中心

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計算例

一般形から使える点へ

係数から中心を復元する仕組み

パイプラインのどこに組み込むか

活用例

コンピュータビジョンの楕円フィッティングを後処理する

幾何サービスで回転した円錐曲線方程式を正規化する

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

一般形から使える点へ

係数から中心を復元する仕組み

パイプラインのどこに組み込むか

連携の活用例

円錐曲線を受け入れる前に検証する

技術的な質問

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