Allgemeine Kreisgleichung
Ein Kreis mit Mittelpunkt (3, −2) und Radius 5 hat die allgemeine Gleichung x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Geben Sie Mittelpunkt und Radius ein und erhalten Sie die drei Koeffizienten, ohne vertauschtes Vorzeichen oder vergessenes Quadrat. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- H
- 3
- K
- -2
- Widerstand (Ω)
- 5
- A
- -6
- B
- 4
- C
- -12
Es ist eine kleine Umrechnung, die jedoch in der analytischen Geometrie, in CAD-Werkzeugen, in Grafikprogrammierung und in jedem System ständig vorkommt, das Kreise in der ausmultiplizierten Polynomform speichert. Ein Aufruf, drei Zahlen, nichts wird gespeichert, und derselbe Code läuft auf dieser Seite kostenlos in Ihrem Browser.
Von Mittelpunkt und Radius zu einem einzigen Polynom
Jeder Kreis in der Ebene ist durch drei Zahlen vollständig beschrieben: die x- und y-Koordinate seines Mittelpunkts und die Länge seines Radius. In der Schreibweise (x − h)² + (y − k)² = r² nennt man diese Beschreibung die Normal- oder Mittelpunktsform, und aus ihr lesen Sie die geometrischen Informationen auf einen Blick ab. Die Umrechnung ist reine Algebra ohne jede Näherung, doch von Hand ist sie genau die Art mechanischer Schritt, bei dem sich ein Vorzeichenfehler einschleicht oder ein Quadrat vergessen wird.
Da die quadratischen Terme stets den Koeffizienten eins tragen, genügen drei Zahlen als Antwort.
Wie die Koeffizienten berechnet und gerundet werden
Die Implementierung ist bewusst transparent: A ist das Minusfache des Doppelten der x-Koordinate des Mittelpunkts, B das Entsprechende für die y-Koordinate, und C ist die Summe der quadrierten Koordinaten minus dem quadrierten Radius. Die Eingaben werden vor jeder Rechnung validiert: Die Mittelpunktskoordinaten müssen endliche Zahlen sein, und der Radius muss strikt positiv sein, denn ein Radius von null beschreibt einen einzelnen Punkt und ein negativer Radius beschreibt gar nichts.
Es gibt keinen Zufall, keine Uhr und keinen Netzwerkaufruf im gesamten Ablauf — genau das macht die Referenzbeispiele reproduzierbar und die Ergebnisse sicher zwischenspeicherbar.
Wo die allgemeine Form tatsächlich verwendet wird
Die Normalform ist das, was Sie wollen, wenn ein Mensch die Gleichung liest, aber die allgemeine Form ist das, was viele Systeme speichern und übertragen. Kegelschnitt-Löser, Kreisanpassungen nach der Methode der kleinsten Quadrate und Bibliotheken für algebraische Geometrie behandeln einen Kreis als Spezialfall eines Polynoms zweiten Grades und erwarten die ausmultiplizierten Koeffizienten statt eines Mittelpunkt-Radius-Tripels. Grafik-Pipelines halten Kreise mitunter in der allgemeinen Form, weil sich Schnitte mit Geraden und anderen Kreisen in diesen Koeffizienten auf kleine Probleme der linearen Algebra reduzieren.
Lehrbücher und Prüfungen wechseln in beide Richtungen zwischen den Formen und verlangen, einen gegebenen Kreis auszumultiplizieren oder bei gegebenen Koeffizienten die quadratische Ergänzung durchzuführen — ein zuverlässiger Umrechner dient daher zugleich als Kontrolle für Handrechnungen. Programmatische Nutzer rufen diese Funktion typischerweise als Normalisierungsschritt auf: In welcher Form ein Kreis auch ankommt, er wird vor dem Speichern in die allgemeine Form gebracht, damit Vergleiche und Deduplizierung zu einfacher Koeffizientengleichheit werden.
Anwendungsfälle
Kreise vor dem Speichern normalisieren
Wandeln Sie Kreisdefinitionen aus Mittelpunkt und Radius in Koeffizienten der allgemeinen Form um, damit Vergleiche, Deduplizierung und Indexierung in einer Geometriedatenbank zu einfachen Koeffizientenvergleichen werden.
Einen Kegelschnitt-Löser speisen
Übergeben Sie A, B und C direkt an eine Bibliothek, die Kreise als Polynome zweiten Grades für Schnitt-, Anpassungs- oder Transformationsaufgaben behandelt.
Hausaufgaben in analytischer Geometrie prüfen
Multiplizieren Sie (x − h)² + (y − k)² = r² von Hand aus und vergleichen Sie die Koeffizienten anschließend mit einem Aufruf der deterministischen Antwort.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Auf dieser Seite läuft es außerdem kostenlos in Ihrem Browser — an beiden Stellen wird derselbe Code ausgeführt.
Was genau sind A, B und C?
Für einen Kreis mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r gilt A = −2h, B = −2k und C = h² + k² − r².
Warum schlägt ein Radius von null oder weniger fehl?
Ein Radius von null beschreibt einen einzelnen Punkt, keinen Kreis, und ein negativer Radius ist geometrisch bedeutungslos.
Kann ich die Genauigkeit des Ergebnisses steuern?
Ja. Die Option decimals legt die Anzahl der Nachkommastellen fest, von 0 bis 12, mit kaufmännischer Rundung. Standard sind 12, was die Ausgabe plattformübergreifend bytestabil hält.
Wie komme ich von der allgemeinen Form zurück zu Mittelpunkt und Radius?
Durch quadratische Ergänzung: h = −A/2, k = −B/2 und r = √(h² + k² − C). Die Rückrichtung deckt die eigene Kreisgleichungs-Funktion im Katalog ab.
Wird etwas gespeichert, das ich sende?
Nein. Die Zahlen werden validiert, die drei Koeffizienten berechnet und die Antwort zurückgegeben; die Eingabe wird sofort verworfen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"h":3,"k":-2,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"h": 3,
"k": -2,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"h": 3,
"k": -2,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"h":3,"k":-2,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"h":3,"k":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"h": 3,
"k": -2,
"r": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.general_form_equation_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die allgemeine Form der Kreisgleichung, x² + y² + Ax + By + C = 0, entsteht, wenn Sie die bekannte Normalform (x − h)² + (y − k)² = r² ausmultiplizieren und alle Terme auf eine Seite bringen. Diese Funktion übernimmt genau diesen Schritt für Sie: Sie senden die Mittelpunktskoordinaten h und k zusammen mit dem Radius r und erhalten die drei Koeffizienten A, B und C zurück — deterministisch berechnet und auf eine feste Anzahl von Nachkommastellen gerundet.
Von Mittelpunkt und Radius zu einem einzigen Polynom
Das Ausmultiplizieren der beiden Quadrate ergibt x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r², und wenn Sie alles auf die linke Seite bringen, entsteht x² + y² + Ax + By + C = 0, die allgemeine Form, mit A = −2h, B = −2k und C = h² + k² − r². Dieser Endpunkt führt die Umformung für jeden endlichen Mittelpunkt und jeden positiven Radius durch und gibt die drei Koeffizienten als schlichte JSON-Zahlen zurück, sodass sie ohne weiteres Parsen ein Dokument, eine Zeichenroutine oder einen nachgelagerten Löser speisen können.
Wie die Koeffizienten berechnet und gerundet werden
Ein nicht positiver Radius, ein fehlendes Feld oder ein nicht numerischer Wert löst einen invalid_input-Fehler aus, dessen Meldung das betroffene Feld benennt, und fehlgeschlagene Anfragen werden nicht berechnet.
Wo die allgemeine Form tatsächlich verwendet wird
Bei $0.002 pro Anfrage ist das günstig genug, um es inline in einer Pipeline laufen zu lassen, und die Browser-Version kostet überhaupt nichts.