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Équation générale du cercle

Un cercle de centre (3, −2) et de rayon 5 a pour équation générale x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Saisissez le centre et le rayon et obtenez les trois coefficients, sans signe inversé ni carré oublié. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

H: 3
K: -2
Résistance (Ω): 5

Vous obtenez

A: -6
B: 4
C: -12

Cette fonctionnalité effectue ce développement pour vous : vous envoyez les coordonnées h et k du centre ainsi que le rayon r, et vous recevez en retour les trois coefficients A, B et C, calculés de façon déterministe et arrondis à un nombre fixe de décimales. C'est une petite conversion, mais elle revient sans cesse dans les devoirs de géométrie analytique, les outils de CAO, le code d'infographie et tout système qui stocke les cercles sous forme polynomiale développée. Un appel, trois nombres, rien n'est conservé, et le même code s'exécute gratuitement dans votre navigateur sur cette page.

Du centre et du rayon à un polynôme unique

Tout cercle du plan est entièrement décrit par trois nombres : les coordonnées x et y de son centre et la longueur de son rayon. Écrite sous la forme (x − h)² + (y − k)² = r², cette description s'appelle la forme standard ou forme centre-rayon, et c'est celle dont on lit d'un coup d'œil les informations géométriques. La conversion est de l'algèbre pure, sans aucune approximation, mais la faire à la main est précisément le genre d'étape mécanique où un signe glisse ou un carré est oublié.

Comme les termes au carré portent toujours le coefficient un, trois nombres suffisent à constituer la réponse.

Comment les coefficients sont calculés et arrondis

L'implémentation est volontairement transparente : A vaut moins deux fois l'abscisse du centre, B vaut moins deux fois son ordonnée, et C est la somme des coordonnées au carré moins le rayon au carré. Les entrées sont validées avant tout calcul : les coordonnées du centre doivent être des nombres finis, et le rayon doit être strictement positif, car un rayon nul décrit un point unique et un rayon négatif ne décrit rien du tout.

Il n'y a ni aléa, ni horloge, ni appel réseau sur tout le chemin, ce qui rend les exemples de référence reproductibles et les résultats sûrs à mettre en cache.

Où la forme générale est réellement utilisée

La forme standard est celle qu'il vous faut quand un humain lit l'équation, mais la forme générale est celle que beaucoup de systèmes stockent et transmettent. Les solveurs de coniques, les ajustements de cercles par moindres carrés et les bibliothèques de géométrie algébrique traitent tous le cercle comme un cas particulier de polynôme du second degré, et ils attendent les coefficients développés plutôt qu'un triplet centre-rayon.

Les pipelines d'infographie conservent parfois les cercles sous forme générale, car les intersections avec des droites ou d'autres cercles se ramènent alors à de petits problèmes d'algèbre linéaire sur ces coefficients. Les manuels et les examens passent d'une forme à l'autre dans les deux sens, demandant d'étendre un cercle donné ou de compléter le carré sur des coefficients donnés, si bien qu'un convertisseur fiable sert aussi de vérificateur pour le travail manuel.

Les utilisateurs programmatiques appellent généralement cette fonctionnalité comme étape de normalisation : quelle que soit la forme d'arrivée d'un cercle, ils le convertissent en forme générale avant de le stocker, ce qui réduit comparaisons et déduplication à une simple égalité de coefficients.

Cas d’usage

Normaliser les cercles avant stockage

Convertissez les définitions de cercles centre-rayon en coefficients de la forme générale afin que comparaisons, déduplication et indexation dans une base de données géométrique deviennent de simples tests d'égalité de coefficients.

Alimenter un solveur de coniques

Transmettez A, B et C directement à une bibliothèque qui traite les cercles comme des polynômes du second degré pour des travaux d'intersection, d'ajustement ou de transformation.

Vérifier des devoirs de géométrie analytique

Développez (x − h)² + (y − k)² = r² à la main, puis vérifiez les coefficients obtenus par rapport à la réponse déterministe en un seul appel.

Questions fréquentes

Combien cela coûte-t-il ?

C'est aussi gratuit dans votre navigateur sur cette page — le même code s'exécute aux deux endroits.

Que sont exactement A, B et C ?

Pour un cercle de centre (h, k) et de rayon r, ils valent A = −2h, B = −2k et C = h² + k² − r².

Pourquoi un rayon nul ou négatif échoue-t-il ?

Un rayon nul décrit un point unique, pas un cercle, et un rayon négatif n'a aucun sens géométrique.

Puis-je contrôler la précision du résultat ?

Oui. L'option decimals fixe le nombre de décimales, de 0 à 12, avec arrondi au supérieur en cas d'égalité. La valeur par défaut est 12, ce qui garantit une sortie stable à l'octet près d'une plateforme à l'autre.

Comment revenir de la forme générale au centre et au rayon ?

Complétez le carré : h = −A/2, k = −B/2 et r = √(h² + k² − C). Le sens inverse est couvert par la fonctionnalité dédiée à l'équation du cercle dans le catalogue.

Ce que j'envoie est-il conservé ?

Non. Les nombres sont validés, les trois coefficients sont calculés et la réponse est renvoyée ; l'entrée est immédiatement supprimée.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"h":3,"k":-2,"r":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "h": 3,
    "k": -2,
    "r": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "h": 3,
    "k": -2,
    "r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"h":3,"k":-2,"r":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"h":3,"k":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "h": 3,
  "k": -2,
  "r": 5
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.general_form_equation_circle",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

La forme générale de l'équation d'un cercle, x² + y² + Ax + By + C = 0, est ce que devient l'équation lorsque vous développez la forme standard habituelle (x − h)² + (y − k)² = r² et que vous regroupez tous les termes d'un même côté.

Du centre et du rayon à un polynôme unique

Le développement des deux carrés donne x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r², et le passage de tout au membre de gauche produit x² + y² + Ax + By + C = 0, la forme générale, avec A = −2h, B = −2k et C = h² + k² − r². Ce point d'accès effectue ce développement pour tout centre fini et tout rayon positif, en renvoyant les trois coefficients sous forme de simples nombres JSON, prêts à alimenter un document, une routine de dessin ou un solveur en aval sans analyse supplémentaire.

Comment les coefficients sont calculés et arrondis

Fournir un rayon non positif, un champ manquant ou une valeur non numérique renvoie une erreur invalid_input dont le message nomme le champ fautif, et les requêtes en échec ne sont pas facturées.

Où la forme générale est réellement utilisée

À $0.002 par requête, c'est assez bon marché pour s'exécuter en ligne dans un pipeline, et la version navigateur ne coûte rien du tout.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Du centre et du rayon à un polynôme unique

Comment les coefficients sont calculés et arrondis

Où la forme générale est réellement utilisée

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