Formule du cercle : équation standard et générale
Les deux équations d'un cercle depuis son centre et son rayon : centre (3, −2) et rayon 5 donnent (x − 3)² + (y + 2)² = 25 et x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Cx
- 3
- Cy
- -2
- Résistance (Ω)
- 5
- Rayon
- 5
- Forme standard
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Forme générale
- x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
C'est l'algèbre que les élèves font à la main et que le code graphique exécute à la volée, résolue de façon déterministe en un seul appel : même centre et même rayon, exactement les mêmes équations, à chaque fois.
D'un centre et d'un rayon à une équation
Un cercle est l'ensemble des points dont la distance à un centre fixe est égale au rayon, et l'équation n'est que le théorème de Pythagore appliqué à cette idée : (x − h)² + (y − k)² = r², où (h, k) est le centre. Ce point d'accès prend ces trois nombres — centre x, centre y et rayon — et écrit l'équation pour vous.
La formule du cercle est renvoyée sous forme de chaîne prête à lire, de sorte que le résultat peut aller directement dans une fiche d'exercices, un rapport ou une page rendue sans aucune mise en forme supplémentaire de votre part. Les coordonnées du centre sont renvoyées avec le rayon, donc la réponse est autonome : tout ce qu'un lecteur doit vérifier dans l'équation par rapport à la définition d'origine est présent dans un seul objet.
Les signes sont gérés pour vous, y compris les cas qui posent problème, comme une coordonnée de centre négative qui produit (x + 2)² au lieu de (x − −2)², ou un centre sur un axe qui fait disparaître entièrement la parenthèse.
Forme standard et forme générale, côte à côte
Les deux formes courantes de l'équation sont renvoyées dans la même réponse. Les coefficients sont aussi renvoyés numériquement sous les noms d, e et f, de sorte que le code qui a besoin des valeurs plutôt que de la chaîne n'a rien à analyser. La forme générale est dérivée de façon déterministe : D vaut moins deux fois le x du centre, E vaut moins deux fois le y du centre, et F vaut h² + k² − r².
Lorsqu'un coefficient est nul, il est omis de l'équation affichée, donc un cercle centré à l'origine s'écrit simplement x² + y² = r² en forme standard et x² + y² − r² = 0 en forme générale, exactement comme un professeur l'écrirait au tableau.
Entrée stricte, erreurs honnêtes
Le rayon doit être un nombre positif. La même rigueur s'applique au centre : les deux coordonnées doivent être présentes et être des nombres finis, et les chaînes numériques sont acceptées car les envois de formulaires arrivent souvent sous forme de texte. Cette rigueur compte pour la facturation autant que pour l'exactitude — une entrée qui échoue à la validation n'est jamais facturée, car l'erreur appartient au client et n'est pas un calcul consommé.
Les nombres sont arrondis à six décimales afin que la sortie soit stable entre les machines et entre les appels répétés, ce qui rend le point d'accès sûr dans les tests et les comparaisons de fichiers de référence où un artefact flottant égaré ferait échouer la compilation.
Cas d’usage
Générer des devoirs et des sujets d'examen
Fournissez des centres et des rayons aléatoires et obtenez les équations correctes sous formes standard et générale à imprimer comme corrigé, sans développement manuel.
Tracer des cercles dans du code graphique
Convertissez un centre et un rayon issus d'un outil de dessin en l'équation implicite qu'attendent un shader, un traceur ou une bibliothèque de géométrie.
Corriger automatiquement les réponses des élèves
Comparez une équation sous forme générale soumise aux coefficients déterministes d, e et f au lieu d'analyser de l'algèbre manuscrite.
Questions fréquentes
Combien cela coûte-t-il ?
L'exécution est aussi gratuite dans votre navigateur sur cette page — le même code tourne aux deux endroits.
Quelle entrée faut-il ?
Trois nombres : les coordonnées x et y du centre et le rayon. Les chaînes numériques sont également acceptées.
Que se passe-t-il quand le centre est l'origine ?
Les termes nuls sont omis proprement : vous obtenez x² + y² = r² en forme standard et x² + y² − r² = 0 en forme générale.
La sortie est-elle déterministe ?
Oui. Il n'y a ni aléa, ni horloge ni réseau, et les nombres sont arrondis à six décimales, donc la même entrée produit toujours une sortie identique octet par octet.
Comment passer de la forme réduite à la forme développée ?
Développez les carrés et regroupez les termes. Le coefficient de x vaut moins deux fois le x du centre, celui de y moins deux fois le y du centre, et la constante est la somme de leurs carrés moins le carré du rayon. Dans l'exemple, on obtient −6, 4 et −12.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"cx":3,"cy":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L'API de formule du cercle prend les deux données qui définissent un cercle — les coordonnées de son centre et son rayon — et renvoie son équation à la fois sous forme standard, (x − h)² + (y − k)² = r², et sous forme générale, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, avec les coefficients numériques D, E et F.
Forme standard et forme générale, côte à côte
La forme standard garde la géométrie visible — vous y lisez directement le centre et le rayon au carré — tandis que la forme générale, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, est celle que les manuels demandent lors du développement et que de nombreux solveurs acceptent en entrée.
Entrée stricte, erreurs honnêtes
Zéro est rejeté car un cercle de rayon nul est un point, pas un cercle, et les rayons négatifs n'ont aucun sens géométrique ; dans les deux cas, vous obtenez une erreur invalid_input claire qui nomme le champ du rayon au lieu d'une équation silencieusement fausse.
Questions techniques
Pourquoi mon rayon a-t-il été rejeté ?
Le rayon doit être un nombre positif. Les valeurs nulles et négatives renvoient une erreur invalid_input, car elles ne décrivent pas un cercle.
Quelles formes de l'équation sont renvoyées ?
Les deux : la forme standard (x − h)² + (y − k)² = r² et la forme générale x² + y² + Dx + Ey + F = 0, plus les coefficients numériques d, e et f.