Fórmula da circunferência: equação padrão e geral
As duas equações de uma circunferência a partir do centro e do raio: centro (3, −2) e raio 5 dão (x − 3)² + (y + 2)² = 25 e x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Prontas para listas e gabaritos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Cx
- 3
- Cy
- -2
- Resistência (Ω)
- 5
- Raio
- 5
- Forma padrão
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Forma geral
- x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
É a álgebra que os estudantes fazem à mão e que o código gráfico executa em tempo de execução, resolvida de forma determinista em uma única chamada: mesmo centro e mesmo raio, exatamente as mesmas equações, sempre.
De um centro e um raio a uma equação
Uma circunferência é o conjunto de pontos cuja distância a um centro fixo é igual ao raio, e a equação é apenas o teorema de Pitágoras aplicado a essa ideia: (x − h)² + (y − k)² = r², onde (h, k) é o centro. A fórmula da circunferência é devolvida como uma cadeia pronta para leitura, de modo que o resultado pode ir direto para uma folha de exercícios, um relatório ou uma página renderizada, sem nenhuma formatação extra da sua parte.
As coordenadas do centro são devolvidas junto com o raio, portanto a resposta é autocontida: tudo o que um leitor precisa para conferir a equação contra a definição original está presente em um único objeto. Os sinais são tratados para você, incluindo os casos que costumam dar errado, como uma coordenada de centro negativa que produz (x + 2)² em vez de (x − −2)², ou um centro sobre um eixo que faz o parêntese desaparecer por completo.
Forma padrão e forma geral, lado a lado
As duas formas comuns da equação voltam na mesma resposta. Os coeficientes também são devolvidos numericamente como d, e e f, de modo que o código que precisa dos valores em vez da cadeia não precisa analisar nada. A forma geral é derivada de forma determinista: D é menos duas vezes o x do centro, E é menos duas vezes o y do centro e F é h² + k² − r².
Quando um coeficiente é zero, ele é omitido da equação impressa, então uma circunferência centrada na origem aparece simplesmente como x² + y² = r² na forma padrão e x² + y² − r² = 0 na forma geral, exatamente como um professor a escreveria no quadro.
Entrada rigorosa, erros honestos
O raio deve ser um número positivo. O mesmo rigor se aplica ao centro: as duas coordenadas devem estar presentes e ser números finitos, e cadeias numéricas são aceitas porque envios de formulário costumam chegar como texto. Esse rigor importa tanto para a cobrança quanto para a correção — uma entrada que falha na validação nunca é cobrada, porque o erro é do cliente, não uma computação consumida.
Casos de uso
Gerar exercícios de casa e de prova
Forneça centros e raios aleatórios e obtenha as equações corretas nas formas padrão e geral para imprimir como gabarito, sem expansão manual.
Desenhar circunferências em código gráfico
Converta um centro e um raio de uma ferramenta de desenho na equação implícita que um shader, um plotter ou uma biblioteca de geometria espera.
Corrigir respostas de alunos automaticamente
Compare uma equação em forma geral enviada com os coeficientes deterministas d, e e f, em vez de analisar álgebra escrita à mão.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é grátis executar no seu navegador nesta página — o mesmo código roda nos dois lugares.
Que entrada é necessária?
Três números: as coordenadas x e y do centro e o raio. Cadeias numéricas também são aceitas.
O que acontece quando o centro é a origem?
Os termos zero são omitidos de forma limpa: você obtém x² + y² = r² na forma padrão e x² + y² − r² = 0 na forma geral.
A saída é determinista?
Sim. Não há aleatoriedade, relógio nem rede, e os números são arredondados para seis casas decimais, de modo que a mesma entrada sempre produz saída idêntica byte a byte.
Como passo da forma padrão para a forma geral?
Desenvolva os quadrados e agrupe os termos. O coeficiente de x é menos o dobro do x do centro, o de y é menos o dobro do y do centro, e o termo independente é a soma dos quadrados deles menos o raio ao quadrado. No exemplo saem −6, 4 e −12.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"cx":3,"cy":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A API de fórmula da circunferência recebe os dois dados que definem uma circunferência — as coordenadas do centro e o raio — e devolve a equação tanto na forma padrão, (x − h)² + (y − k)² = r², quanto na forma geral, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, junto com os coeficientes numéricos D, E e F.
De um centro e um raio a uma equação
Este endpoint recebe esses três números — centro x, centro y e raio — e escreve a equação para você.
Forma padrão e forma geral, lado a lado
A forma padrão mantém a geometria visível — você lê o centro e o raio ao quadrado diretamente nela — enquanto a forma geral, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, é o que os livros didáticos pedem ao expandir e o que muitos solucionadores aceitam como entrada.
Entrada rigorosa, erros honestos
Zero é rejeitado porque uma circunferência de raio zero é um ponto, não uma circunferência, e raios negativos não têm significado geométrico; em ambos os casos você recebe um erro invalid_input claro que nomeia o campo do raio, em vez de uma equação silenciosamente errada. Os números são arredondados para seis casas decimais, de modo que a saída é estável entre máquinas e entre chamadas repetidas, o que torna o endpoint seguro dentro de testes e comparações de arquivos de referência, onde um artefato de ponto flutuante perdido quebraria o build.
Perguntas técnicas
Por que meu raio foi rejeitado?
O raio deve ser um número positivo. Valores zero e negativos retornam um erro invalid_input, porque não descrevem uma circunferência.
Quais formas da equação são devolvidas?
As duas: a forma padrão (x − h)² + (y − k)² = r² e a forma geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0, além dos coeficientes numéricos d, e e f.