معادلة الدائرة
معادلتا الدائرة من مركزها ونصف قطرها: المركز (3، −2) ونصف القطر 5 يعطيان (x − 3)² + (y + 2)² = 25 وx² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. جاهزتان لأوراق العمل ومفاتيح الحلول. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- Cx
- 3
- Cy
- -2
- المقاومة (Ω)
- 5
- نصف القطر
- 5
- الصيغة القياسية
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- الصيغة العامة
- x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
إنها الجبر الذي يحلّه الطلاب بأيديهم وينفّذه كود الرسوميات أثناء التشغيل، محسوبًا بطريقة حتمية في استدعاء واحد: المركز نفسه ونصف القطر نفسه يعطيان المعادلات نفسها تمامًا في كل مرة.
من مركز ونصف قطر إلى معادلة
الدائرة هي مجموعة النقاط التي تبعد عن مركز ثابت مسافة تساوي نصف القطر، والمعادلة ليست سوى نظرية فيثاغورس مطبَّقة على هذه الفكرة: (x − h)² + (y − k)² = r²، حيث (h, k) هو المركز. تأخذ هذه النقطة الطرفية هذه الأرقام الثلاثة — إحداثي x للمركز وإحداثي y للمركز ونصف القطر — وتكتب المعادلة نيابة عنك. تُعاد معادلة الدائرة على هيئة سلسلة نصية جاهزة للقراءة، فيمكن أن ينتقل الناتج مباشرة إلى ورقة تمارين أو تقرير أو صفحة معروضة دون أي تنسيق إضافي من جانبك.
تُعاد إحداثيات المركز مع نصف القطر، ومن ثم تكون الإجابة مكتفية ذاتيًا: كل ما يحتاجه القارئ للتحقق من المعادلة مقابل التعريف الأصلي موجود في كائن واحد. تُعالَج الإشارات نيابة عنك، بما في ذلك الحالات التي يخطئ فيها الناس عادة، مثل إحداثي مركز سالب ينتج (x + 2)² بدلًا من (x − −2)²، أو مركز واقع على أحد المحورين يؤدي إلى اختفاء القوسين تمامًا.
الصيغة القياسية والصيغة العامة جنبًا إلى جنب
تُعاد كلتا صيغتي المعادلة الشائعتين في الاستجابة نفسها. تُعاد المعاملات أيضًا كقيم عددية بأسماء d وe وf، فلا يحتاج الكود الذي يريد القيم بدل السلسلة النصية إلى تحليل أي شيء. تُشتق الصيغة العامة بطريقة حتمية: D تساوي سالب ضعفي إحداثي x للمركز، وE تساوي سالب ضعفي إحداثي y للمركز، وF تساوي h² + k² − r².
وعندما يساوي أحد المعاملات صفرًا يُحذف من المعادلة المعروضة، فتظهر الدائرة المتمركزة في نقطة الأصل ببساطة على الصورة x² + y² = r² بالصيغة القياسية وx² + y² − r² = 0 بالصيغة العامة، تمامًا كما يكتبها المعلم على السبورة.
مدخلات صارمة وأخطاء صادقة
يجب أن يكون نصف القطر عددًا موجبًا. ويسري الصرامة نفسها على المركز: يجب أن يكون كلا الإحداثيين موجودين وأن يكونا عددين منتهيين، وتُقبل السلاسل الرقمية لأن بيانات النماذج تصل غالبًا كنصوص. هذه الصرامة مهمة للفوترة بقدر أهميتها للصحة — فالمدخل الذي لا يجتاز التحقق لا يُحتسَب أبدًا، لأن الخطأ خطأ العميل وليس عملية حسابية مستهلَكة.
تُقرَّب الأرقام إلى ست منازل عشرية كي يكون الناتج ثابتًا بين الأجهزة وبين الاستدعاءات المتكررة، ما يجعل النقطة الطرفية آمنة للاستخدام داخل الاختبارات ومقارنات الملفات المرجعية حيث يؤدي أي انحراف في الفاصلة العائمة إلى كسر البناء.
حالات الاستخدام
إنشاء واجبات منزلية وأسئلة امتحانات
زوّد الأداة بمراكز وأنصاف أقطار عشوائية لتحصل على المعادلات الصحيحة بالصيغتين القياسية والعامة لطباعتها كنموذج إجابة، دون فك يدوي.
رسم الدوائر في كود الرسوميات
حوّل مركزًا ونصف قطر من أداة رسم إلى المعادلة الضمنية التي يتوقعها مُظلِّل أو راسم أو مكتبة هندسية.
تصحيح إجابات الطلاب آليًا
قارن معادلة بالصيغة العامة مُرسلة بالمعاملات الحتمية d وe وf بدلًا من تحليل جبر مكتوب بخط اليد.
الأسئلة الشائعة
كم التكلفة؟
ويمكنك أيضًا تشغيلها مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة — الكود نفسه يعمل في المكانين.
ما المدخلات المطلوبة؟
ثلاثة أرقام: إحداثيا x وy للمركز ونصف القطر. وتُقبل السلاسل الرقمية أيضًا.
ماذا يحدث عندما يكون المركز هو نقطة الأصل؟
تُحذف الحدود الصفرية بنظافة: تحصل على x² + y² = r² بالصيغة القياسية وعلى x² + y² − r² = 0 بالصيغة العامة.
كيف أنتقل من الصيغة القياسية إلى الصيغة العامة؟
انشر المربعات واجمع الحدود المتشابهة. معامل x يساوي سالب ضعف إحداثي x للمركز، ومعامل y سالب ضعف إحداثي y للمركز، والحد الثابت مجموع مربعيهما ناقص مربع نصف القطر. في المثال تكون القيم −6 و4 و−12.
لماذا يتحول الإحداثي السالب للمركز إلى إشارة موجبة؟
لأن طرح عدد سالب يعني جمعه. إذا كان إحداثي x للمركز −2 تُكتب المعادلة (x + 2)² لا (x − −2)²، وتكتبها الحاسبة لك هكذا وتحذف أي حد يساوي صفرًا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"cx":3,"cy":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تأخذ واجهة برمجة تطبيقات معادلة الدائرة العنصرين اللذين يحددان الدائرة — إحداثيي مركزها ونصف قطرها — وتعيد معادلتها بالصيغة القياسية (x − h)² + (y − k)² = r² وبالصيغة العامة x² + y² + Dx + Ey + F = 0، مع المعاملات العددية D وE وF.
الصيغة القياسية والصيغة العامة جنبًا إلى جنب
تحافظ الصيغة القياسية على وضوح الهندسة — إذ يمكنك قراءة المركز ومربع نصف القطر منها مباشرة — بينما الصيغة العامة x² + y² + Dx + Ey + F = 0 هي ما تطلبه الكتب المدرسية عند الفك وما تقبله كثير من أدوات الحل كمدخل.
مدخلات صارمة وأخطاء صادقة
يُرفض الصفر لأن دائرة نصف قطرها صفر هي نقطة لا دائرة، وأنصاف الأقطار السالبة لا معنى لها هندسيًا؛ وفي الحالتين تحصل على خطأ invalid_input واضح يذكر حقل نصف القطر بدلًا من معادلة خاطئة بصمت.
أسئلة تقنية
لماذا رُفض نصف القطر الذي أدخلته؟
يجب أن يكون نصف القطر عددًا موجبًا. القيم الصفرية والسالبة تُعيد خطأ invalid_input، لأنها لا تصف دائرة.
ما صيغ المعادلة التي تُعاد؟
كلتاهما: الصيغة القياسية (x − h)² + (y − k)² = r² والصيغة العامة x² + y² + Dx + Ey + F = 0، إضافة إلى المعاملات العددية d وe وf.
هل الناتج حتمي؟
نعم. لا عشوائية ولا ساعة ولا شبكة، وتُقرَّب الأرقام إلى ست منازل عشرية، فالمدخل نفسه يعطي دائمًا ناتجًا متماثلًا بايتًا بايت.