تحويل القطع الناقص إلى الصيغة القياسية: المركز والمحاور والدوران
المعادلة 4x² + 9y² − 8x − 18y − 23 = 0 قطع ناقص مركزه (1، 1) ونصفا محوريه 3 و2 بلا دوران. أدخل المعاملات الستة لمعادلة عامة لتحصل على المركز ونصفي المحورين وزاوية الميل. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 4
- B
- 0
- C
- 9
- D
- -8
- E
- -18
- F
- -23
- نصف المحور الأكبر
- 3
- نصف المحور الأصغر
- 2
- الدوران (°)
- 0
وإذا كانت المعاملات تصف قطعًا زائدًا أو قطعًا مكافئًا أو نقطة واحدة أو لا تصف منحنى حقيقيًا أصلًا، فإن الطلب يُرفض مع رسالة خطأ واضحة بدلًا من إجابة بلا معنى. والتحويل جبر دقيق: إكمال المربع لإيجاد المركز، وتحليل القيم الذاتية للصيغة التربيعية لإيجاد المحاور. والشيفرة نفسها تعمل مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة.
من المعادلة العامة إلى الصيغة القياسية
والانتقال من إحداهما إلى الأخرى يتم على خطوتين. أولًا، أوجد المركز بحل النظام الخطي 2A·h + B·k = −D وB·h + 2C·k = −E — وهذه هي النقطة التي تنعدم عندها المشتقتان الجزئيتان، وإكمال المربع حولها يزيل الحدود الخطية. ثانيًا، تخلّص من الحد المختلط B·x·y.
وتنفّذ هذه النقطة الطرفية الخطوتين بحساب مغلق الصيغة — بلا تكرار ولا بحث عددي — فتكون النتيجة دقيقة حتى حدود التقريب في الفاصلة العائمة، وهي مثبتة عند ست خانات عشرية لإبقاء الاستجابات ثابتة البايتات عبر الأجهزة والتشغيلات.
كيف تقرر النقطة الطرفية أن المنحنى قطع ناقص حقًّا
يمكن للمعادلة ذات المعاملات الستة نفسها أن تصف أي قطع مخروطي، لذلك يأتي التحقق قبل التحويل. والكمية الأساسية هي المميّز B² − 4AC. والمميّز السالب شرط ضروري لكنه غير كافٍ: فبعد الإزاحة إلى المركز يجب ألا يكون الحد الثابت صفرًا — وإلا تحققت المعادلة عند المركز وحده فقط، وهو قطع ناقص منحلّ منقطة — ويجب أن يخالف الجزءَ التربيعي في الإشارة، وإلا فلا توجد نقطة حقيقية تحقق المعادلة أصلًا، وهو ما يسمى القطع الناقص التخيّلي.
وتُرفض كلتا الحالتين برسالة تسمّي سبب الفشل. وحين تنجح الفحوصات الثلاثة كلها فقط تحمل الاستجابة المركز ونصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر وزاوية دوران المحور الأكبر بالدرجات، مُطبَّعة على الفترة نصف المفتوحة من 0 إلى 180 لأن اتجاه المحور لا جهة له. وتساوي نصفي المحورين يعني أن القطع الناقص دائرة، وتشير الاستجابة إلى ذلك صراحة.
أين يُستخدم وكم يكلّف
تظهر القطوع المخروطية بالصيغة العامة حيثما تُركَّب المنحنيات أو تُتقاطع جبريًّا: فتركيب القطع الناقص بطريقة المربعات الصغرى في الرؤية الحاسوبية يعيد هذه المعاملات الستة بعينها، وكذلك أشكال التصادم في محركات الفيزياء، وبصمات الهوائيات في موازنات وصلات الأقمار الصناعية، وقطوع الثقة الناقصة لمصفوفة التغاير في الإحصاء. وفي كل حالة تكون الصيغة القياسية هي ما تحتاجه فعلًا في المرحلة التالية — لرسم المنحنى، أو لاختبار احتواء نقطة، أو لحساب المساحة أو اللا مركزية — وإجراء التحويل يدويًّا يعني إعادة حساب القيم الذاتية بعناية في كل مرة.
يعمل الاستدعاء على شبكتنا الطرفية العالمية، ولا يحتفظ بشيء، ولا يتضمن أي عشوائية أو اعتماد على الساعة، لذا يمكن تخزينه في الذاكرة المؤقتة بأمان. جرّب مجانًا، ولا تدفع إلا عندما تُؤتمت — سواء التحويل الدفعي للقطوع المركّبة، أو التحقق داخل خط معالجة رسومي، أو تطبيق يحتاج الصيغة القياسية عند الطلب.
حالات الاستخدام
استخراج الهندسة من قطع مخروطي مُركَّب
تعيد خوارزميات تركيب القطع الناقص في الرؤية الحاسوبية والقياس المعاملات العامة الستة؛ حوّلها إلى مركز ومحاور وزاوية دوران في استدعاء واحد.
تصنيف قطع مخروطي بأمان
أدخل أي معادلة تربيعية واعرف ما إذا كانت قطعًا ناقصًا حقيقيًا أو قطعًا زائدًا أو قطعًا مكافئًا أو حالة منحلّة — من رسالة خطأ واضحة، لا من NaN.
الأسئلة الشائعة
كم يكلّف؟
والحساب نفسه مجاني في متصفحك على هذه الصفحة.
أي صيغة معادلة يقبل؟
أرسل المعاملات الستة في الحقول من a إلى f.
كيف تُعرَّف زاوية الدوران؟
هي زاوية المحور الأكبر بالدرجات مقيسة من محور x الموجب، مُطبَّعة على الفترة [0, 180) لأن اتجاه المحور لا جهة له. وفي حالة الدائرة تكون الزاوية اعتباطية وتشير الاستجابة إلى ذلك.
ما مدى دقة النتيجة؟
التحويل جبر مغلق الصيغة — إكمال المربع مع تحليل ذاتي لمصفوفة 2×2 — دقيق حتى حدود الفاصلة العائمة، مع تقريب الناتج إلى ست خانات عشرية لاستجابات ثابتة البايتات.
هل يُخزَّن أي شيء؟
لا. تُعالَج المعاملات ثم تُتلف؛ ولا يُعاد إلا الناتج.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.ellipse_standard_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تستقبل واجهة برمجة التطبيقات الخاصة بالصيغة القياسية للقطع الناقص المعاملات الستة للمعادلة التربيعية العامة — A·x² زائد B·x·y زائد C·y² زائد D·x زائد E·y زائد F يساوي صفرًا — وتعيد القطع الناقص الذي تصفه بالصيغة القياسية: المركز، ونصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر، وزاوية دوران المحور الأكبر.
من المعادلة العامة إلى الصيغة القياسية
يمكن كتابة كل قطع ناقص في المستوى، مهما كان مُدارًا أو منزاحًا، على الصورة A·x² + B·x·y + C·y² + D·x + E·y + F = 0، وتفضّل كتب الهندسة كلها الصيغة القياسية (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1 لأن الهندسة تظهر فيها بنظرة واحدة: المركز (h, k) ونصفا المحورين a وb.
كيف تقرر النقطة الطرفية أن المنحنى قطع ناقص حقًّا
فالقيمة السالبة تعني أن الصيغة التربيعية معرّفة وأن المنحنى ينتمي إلى عائلة القطع الناقص؛ والصفر يعني قطعًا مكافئًا، والقيمة الموجبة تعني قطعًا زائدًا، وكلاهما يُرفض بخطأ invalid_input يذكر قيمة المميّز لتعرف السبب.
أين يُستخدم وكم يكلّف
أما هنا فهو طلب POST واحد بستة أرقام. والتسعير ثابت: $0.002 لكل طلب مهما كانت قيم المعاملات، مع توفّر الحساب نفسه مجانًا في أداة المتصفح على هذه الصفحة.
حالات التكامل
تحويل دفعات من فهارس القطوع
مرّ على مجموعات المعاملات المخزنة من محاكاة أو مسح ميداني وأرفق المركز ونصفي المحورين بكل سجل مقابل $0.002 لكل استدعاء.
أسئلة تقنية
ماذا لو لم تكن المعادلة قطعًا ناقصًا؟
تُرفض بخطأ invalid_input: فالمميّز غير السالب B²−4AC يعني قطعًا زائدًا أو مكافئًا، والقطع الناقص المنحلّ أو التخيّلي يُرفض أيضًا، مع رسالة تسمّي السبب.