Convertitore forma standard ellisse: centro, semiassi e rotazione
4x² + 9y² − 8x − 18y − 23 = 0 è un'ellisse con centro in (1, 1), semiassi 3 e 2 e nessuna rotazione. Inserisca i sei coefficienti di un'equazione generale e ottenga centro, semiassi e inclinazione. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 4
- B
- 0
- C
- 9
- D
- -8
- E
- -18
- F
- -23
- Semiasse maggiore
- 3
- Semiasse minore
- 2
- Rotazione (°)
- 0
Se i coefficienti descrivono un'iperbole, una parabola, un singolo punto o nessuna curva reale, la richiesta viene rifiutata con un errore chiaro invece di una risposta priva di senso. La conversione è algebra esatta: completamento del quadrato per il centro e decomposizione in autovalori della forma quadratica per gli assi. Lo stesso codice viene eseguito gratuitamente nel Suo browser su questa pagina.
Dall'equazione generale alla forma standard
Passare dall'una all'altra richiede due passaggi. Prima si trova il centro risolvendo il sistema lineare 2A·h + B·k = −D e B·h + 2C·k = −E — è il punto in cui entrambe le derivate parziali si annullano, e completare il quadrato attorno ad esso elimina i termini lineari. Poi si elimina il termine misto B·x·y.
Quando B è zero l'ellisse è già allineata agli assi e i semiassi seguono direttamente dividendo la costante rimanente; quando B non è zero la parte quadratica è una matrice simmetrica 2×2 i cui autovalori danno i denominatori al quadrato e i cui autovettori danno l'angolo di rotazione.
Come si verifica che sia davvero un'ellisse
La stessa equazione a sei coefficienti può descrivere qualsiasi sezione conica, quindi la validazione precede la conversione. La quantità chiave è il discriminante B² − 4AC. Un discriminante negativo è necessario ma non sufficiente: dopo la traslazione al centro, il termine costante deve essere diverso da zero — altrimenti l'equazione vale solo nel centro stesso, un'ellisse degenere puntiforme — e deve avere il segno opposto della parte quadratica, altrimenti nessun punto reale soddisfa affatto l'equazione, la cosiddetta ellisse immaginaria.
Entrambi i casi vengono rifiutati con un messaggio che nomina il fallimento. Solo quando tutti e tre i controlli passano la risposta contiene il centro, i semiassi maggiore e minore e la rotazione dell'asse maggiore in gradi, normalizzata all'intervallo semiaperto da 0 a 180 perché la direzione di un asse non ha orientamento. Semiassi uguali significano che l'ellisse è una circonferenza, cosa che la risposta segnala esplicitamente.
Dove si usa e quanto costa
Le coniche in forma generale compaiono ovunque le curve vengano adattate o intersecate algebricamente: l'adattamento di ellissi ai minimi quadrati nella visione artificiale restituisce esattamente questi sei coefficienti, così come le forme di collisione nei motori fisici, le impronte delle antenne nei bilanci dei collegamenti satellitari e le ellissi di confidenza di una matrice di covarianza in statistica.
In ogni caso la forma standard è ciò che serve davvero a valle — per disegnare la curva, verificare il contenimento di un punto, calcolare l'area o l'eccentricità — e fare la conversione a mano significa rifare ogni volta con cura il calcolo degli autovalori. La chiamata viene eseguita sulla nostra rete edge globale, non conserva nulla e non contiene casualità né dipendenza dall'orologio, quindi è sicura da memorizzare in cache e memoizzare.
Prototipi gratuitamente e paghi solo quando automatizza: conversione in blocco di coniche adattate, validazione dentro una pipeline grafica, o un'app che ha bisogno della forma standard su richiesta.
Casi d'uso
Leggere la geometria da una conica adattata
Gli algoritmi di adattamento di ellissi nella visione e nella metrologia restituiscono i sei coefficienti generali; li converta in centro, assi e rotazione con una sola chiamata.
Classificare una conica in sicurezza
Invii qualsiasi equazione quadratica e scopra se è un'ellisse reale, un'iperbole, una parabola o un caso degenere — da un errore chiaro, non da un NaN.
Domande frequenti
Quanto costa?
Lo stesso calcolo è gratuito nel Suo browser su questa pagina.
Quale forma di equazione accetta?
Invii i sei coefficienti come i campi da a a f.
Come è definito l'angolo di rotazione?
È l'angolo in gradi dell'asse maggiore misurato dall'asse x positivo, normalizzato a [0, 180) perché la direzione di un asse non è orientata. Per una circonferenza l'angolo è arbitrario e la risposta lo indica.
Quanto è preciso il risultato?
La conversione è algebra in forma chiusa — completamento del quadrato più una decomposizione in autovalori 2×2 — esatta fino alla precisione in virgola mobile, con output arrotondato a sei decimali per risposte stabili in byte.
Viene conservato qualcosa?
No. I coefficienti vengono elaborati e scartati; viene restituito solo il risultato.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":4,"b":0,"c":9,"d":-8,"e":-18,"f":-23}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/ellipse-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 4,
"b": 0,
"c": 9,
"d": -8,
"e": -18,
"f": -23
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.ellipse_standard_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
L'API di conversione in forma standard dell'ellisse prende i sei coefficienti di un'equazione quadratica generale — A·x² più B·x·y più C·y² più D·x più E·y più F uguale a zero — e restituisce l'ellisse che descrive in forma standard: il centro, i semiassi maggiore e minore e l'angolo di rotazione dell'asse maggiore.
Dall'equazione generale alla forma standard
Ogni ellisse nel piano, comunque ruotata o spostata, può essere scritta come A·x² + B·x·y + C·y² + D·x + E·y + F = 0, e ogni manuale di geometria preferisce la forma standard (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1 perché la geometria è visibile a colpo d'occhio: il centro (h, k), i semiassi a e b. Questo endpoint esegue entrambi i passaggi con aritmetica in forma chiusa — nessuna iterazione, nessuna ricerca numerica — quindi il risultato è esatto fino all'arrotondamento in virgola mobile, fissato a sei decimali per mantenere le risposte stabili in byte tra macchine ed esecuzioni diverse.
Come l'endpoint decide che è davvero un'ellisse
Un valore negativo significa che la forma quadratica è definita e la curva appartiene alla famiglia delle ellissi; zero è una parabola, un valore positivo è un'iperbole, ed entrambe vengono rifiutate con un errore invalid_input che indica il discriminante così Lei può capirne il motivo.
Dove si usa e quanto costa
Qui basta una POST con sei numeri.
Casi di integrazione
Convertire in blocco cataloghi di coniche
Iteri sui set di coefficienti archiviati da una simulazione o da un rilievo e aggiunga centro e semiassi a ogni record a $0.002 per chiamata.
Domande tecniche
E se l'equazione non è un'ellisse?
Viene rifiutata con un errore invalid_input: un discriminante B²−4AC non negativo significa iperbole o parabola, e anche un'ellisse degenere o immaginaria viene rifiutata, con un messaggio che nomina la causa.