Equazione della sfera

Questo calcolatore accetta quei quattro numeri — le tre coordinate del centro e un raggio strettamente positivo — e restituisce l'identità da manuale (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r² insieme alla forma generale sviluppata x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0. I quattro coefficienti D = −2h, E = −2k, F = −2l, G = h² + k² + l² − r² e il raggio al quadrato viaggiano nello stesso payload così uno studente, un correttore o uno script CAD può copiare l'una o l'altra scrittura senza sviluppare a mano. Il raggio deve essere un numero finito positivo; un valore assente, nullo, negativo o non numerico fallisce con invalid_input invece di un NaN silenzioso. Tramite l'API una richiesta riuscita costa $0.002; i fallimenti di validazione non vengono addebitati.

Che cos'è l'equazione standard di una sfera e quali coefficienti restituisce questo strumento

Una sfera nello spazio cartesiano tridimensionale è completamente determinata da un punto centrale (h, k, l) e da un raggio positivo r: è l'insieme di tutti i punti la cui distanza euclidea da quel centro vale esattamente r. Elevando al quadrato entrambi i membri della formula della distanza scompare la radice e compare l'equazione standard (x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r², la forma che i libri chiedono di scrivere e da cui partono la maggior parte delle note di grafica e di CAD. Una sfera traslata come il centro (1, 2, 3) e raggio 5 diventa (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25, con coefficienti D = −2, E = −4, F = −6 e G = −11. Sviluppando i tre binomi al quadrato e raccogliendo i termini simili si ottiene la forma generale x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0, i cui quattro coefficienti sono D = −2h, E = −2k, F = −2l e G = h² + k² + l² − r². Questo calcolatore restituisce entrambe le scritture della stessa superficie, i quattro coefficienti e il raggio al quadrato, così Lei può incollare l'identità standard in una riga di compito oppure consegnare D, E, F, G a un risolutore che preferisce la forma generale monica. La sfera unitaria nell'origine è il caso speciale h = k = l = 0 e r = 1, che si riduce a x² + y² + z² = 1 e a x² + y² + z² − 1 = 0. Il raggio deve essere strettamente positivo: r = 0 è un solo punto, non una sfera, e un raggio negativo non è una lunghezza geometrica. Quei casi falliscono con invalid_input anziché con un payload di successo vuoto. Questo strumento non calcola volume né area, non adatta una sfera su quattro punti campione e non converte unità; l'intento di ricerca è l'equazione algebrica di una sfera a partire da un centro e un raggio noti, con una risposta chiara oppure un errore onesto.

Contratto di ingresso, identità dei coefficienti e come si costruiscono le due stringhe

Dopo l'analisi, il motore esige che r sia strettamente maggiore di zero e che ogni coordinata resti entro il limite assoluto pubblicato di 10^12, così un raggio non positivo non diventa mai un r² finto e un overflow non diventa mai un Infinity silenzioso. Quando i quattro valori superano il controllo, il raggio al quadrato è r per r, D vale −2h, E vale −2k, F vale −2l e G è la somma delle tre coordinate del centro al quadrato meno quel raggio al quadrato. La stringa dell'equazione standard scrive ciascun asse con un binomio consapevole del segno: un centro nullo stampa x² invece di (x − 0)², un centro positivo stampa (x − h)² e un centro negativo stampa (x + |h|)², e lo stesso per y e z. La stringa della forma generale parte sempre da x² + y² + z² e poi aggiunge solo i termini lineari e il costante diversi da zero, così la sfera unitaria nell'origine è x² + y² + z² − 1 = 0 e non una riga ingombra di coefficienti più-zero. Invii un corpo JSON con quattro numeri finiti obbligatori: h, k e l per il centro, e r per il raggio. Ogni campo può arrivare come numero JSON o come stringa numerica; sono accettati gli alias cx o center_x, cy o center_y, cz o center_z, e radius, così un payload in stile CAD non richiede rimappatura. Campi assenti, stringhe vuote, NaN e Infinity falliscono con invalid_input indicando il campo. Abbini l'esecuzione gratuita del browser in questa pagina all'API a pagamento quando Le serve il risultato algebrico identico in un flusso automatizzato, senza risviluppare i tre binomi in proprio.

Dove un calcolatore dell'equazione della sfera rende nello studio, nel progetto e nel codice

In questa pagina il lavoro gira interamente nel Suo browser; tramite l'API ogni consultazione riuscita costa $0.002, la validazione fallita non viene addebitata e nulla resta memorizzato dopo il ritorno della risposta. Quella scissione — esplorazione interattiva gratuita e API a pagamento identica — Le consente di passare da una dimostrazione in aula a un flusso automatizzato senza cambiare il risultato algebrico. Sia che si sia giunti cercando un calcolatore dell'equazione della sfera oppure la forma standard da centro e raggio, il contratto è lo stesso: centro finito e raggio positivo in ingresso, coefficienti e r² in uscita, oppure un invalid_input chiaro.