Da forma generale a forma standard del cerchio
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 è il cerchio con centro (3, −2) e raggio 5. Inserisca i tre coefficienti e il quadrato viene completato per lei, con un avviso quando non esiste un cerchio reale. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- D
- -6
- E
- 4
- F
- -12
- Raggio
- 5
- Raggio al quadrato
- 25
- Equazione standard
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Equazione generale
- x^2 + y^2 - 6*x + 4*y - 12 = 0
La forma generale di una circonferenza, x al quadrato più y al quadrato più Dx più Ey più F uguale a zero, nasconde le due cose che di solito Le servono: dove si trova il centro e quanto misura il raggio. Questo convertitore completa il quadrato per Lei e restituisce la forma standard (x meno h) al quadrato più (y meno k) al quadrato uguale a r al quadrato, insieme alle coordinate del centro h e k, al raggio, al raggio al quadrato e a entrambe le equazioni rese come testo leggibile. È pensato per verificare i compiti, per corsi di geometria analitica, per note CAD e per qualsiasi script che riceva coefficienti quadratici espansi da un libro di testo, da un CAS o da una pipeline grafica e debba recuperarne il significato geometrico.
Dalla forma generale alla forma standard completando il quadrato
Una circonferenza con centro (h, k) e raggio r si scrive in forma standard come (x − h)² + (y − k)² = r². La conversione inversa è il classico esercizio di completamento del quadrato. Raggruppi i termini in x e quelli in y, aggiunga (D/2)² a entrambi i membri per x e (E/2)² per y, e l'equazione si riduce a (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F.
Leggendo i pezzi si ottiene h = −D/2, k = −E/2 e r² = h² + k² − F, quindi il raggio è la radice quadrata positiva di tale quantità. Lo strumento esegue esattamente questa algebra in forma chiusa: dimezza i coefficienti lineari con cambio di segno per ottenere il centro, valuta il radicando h² + k² − F e ne estrae la radice quadrata per il raggio.
Casi d'uso
Verifica dei compiti sul completamento del quadrato
Gli studenti incollano i coefficienti D, E, F di una scheda e confrontano forma standard, centro e raggio scritti a mano con un risultato deterministico.
Recuperare la geometria da output CAS o shader
Gli script che ricevono coefficienti quadratici espansi da un sistema di algebra computazionale o da una pipeline grafica recuperano centro e raggio della circonferenza in una sola chiamata.
Insegnare le convenzioni sui segni in geometria analitica
I docenti dimostrano come h = −D/2 e k = −E/2 invertano i segni rispetto ai coefficienti generali, con esempi dal vivo che seguono il manuale riga per riga.
Domande frequenti
Che cos'è la forma generale di una circonferenza?
Il centro è h = −D/2, k = −E/2, e r² = h² + k² − F.
Che cos'è la forma standard di una circonferenza?
La forma standard è (x − h)² + (y − k)² = r², dove (h, k) è il centro e r è il raggio positivo. È ciò che questo convertitore restituisce.
Perché il mio input è rifiutato con un errore di raggio al quadrato non positivo?
Perché h² + k² − F è risultato zero o negativo. Zero significa che l'equazione descrive un singolo punto; negativo significa che non esiste alcuna circonferenza reale (una circonferenza immaginaria).
Quanto costa?
È inoltre gratuito eseguirlo nel Suo browser su questa pagina.
Gestisce coefficienti in cui x² e y² hanno un fattore diverso da 1?
No. Prima divida l'intera equazione per quel coefficiente comune, così x² e y² hanno entrambi coefficiente 1, poi invii d, e e f.
I risultati sono deterministici?
Sì. La conversione è aritmetica in forma chiusa arrotondata a sei decimali, senza rete, casualità o orologio, quindi input identici producono sempre output identici.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":-6,"e":4,"f":-12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":-6,"e":4,"f":-12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":-6,"e":4,"f":-12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.general_to_standard_form_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Il percorso di calcolo è aritmetica pura e deterministica — nessuna chiamata di rete, nessuna casualità, nessuna dipendenza dall'orologio — quindi lo strumento gratuito nel browser di questa pagina e l'API prepagata restituiscono lo stesso JSON, byte per byte dopo l'arrotondamento decimale fisso, a ogni singola chiamata.
Dalla forma generale alla forma standard completando il quadrato
Espandendo quei quadrati e raccogliendo i termini si ottiene la forma generale x² + y² + Dx + Ey + F = 0, dove D = −2h, E = −2k e F = h² + k² − r². Poiché la forma generale ha sempre coefficienti 1 su x² e y² e nessun termine xy, non servono mai passaggi di scala o rotazione: entrano tre coefficienti, escono centro e raggio, con le equazioni standard e generale rese dagli stessi valori arrotondati, così ciò che legge coincide con ciò che l'API ha calcolato.
Input, output e comportamento in caso di errore dell'API
Ogni risultato numerico è arrotondato a sei decimali, così l'output è stabile tra macchine e runtime. Un radicando nullo significa che l'equazione descrive un singolo punto, uno negativo che non esiste alcuna circonferenza reale, a volte detta circonferenza immaginaria; il messaggio di errore Le dice quale caso si è verificato e mostra il radicando incriminato. Invii un corpo JSON con i tre coefficienti di x² + y² + Dx + Ey + F = 0: d, e e f. Tutti e tre sono obbligatori e devono essere numeri finiti; gli alias D, E, F e coeff_d, coeff_e, coeff_f corrispondono agli stessi campi, il che è comodo quando copia i coefficienti direttamente da un output CAS. In caso di successo la risposta riporta d, e e f, poi un oggetto center annidato con h e k, il raggio, il valore radius_squared, le stringhe leggibili standard_equation e general_equation, e method impostato su completing_the_square. In caso di fallimento l'API restituisce invalid_input e la richiesta non viene mai addebitata: ciò copre coefficienti mancanti o non numerici, valori oltre il limite assoluto pubblicato di mille miliardi e — soprattutto — qualsiasi tripletta di coefficienti il cui raggio al quadrato calcolato sia zero o negativo. Il prezzo è fisso: $0.002 per richiesta riuscita, con voce unitaria e prezzo marginale unitario pari a zero.
Consigli pratici, esempi svolti e limiti
Inizi con i classici da manuale per fare pratica. Un caso degenere come x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 dà raggio al quadrato nullo ed è rifiutato come singolo punto, mentre x² + y² + 1 = 0 dà un radicando negativo ed è rifiutato come circonferenza immaginaria. La circonferenza unitaria x² + y² − 1 = 0 ha d = 0, e = 0, f = −1 e si converte in centro (0, 0) con raggio 1. Una circonferenza traslata come x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 ha d = −6, e = 4, f = −12 e si converte in centro (3, −2) con raggio 5, dando l'equazione standard (x − 3)² + (y + 2)² = 25 — noti come i segni si invertono tra i coefficienti generali e le coordinate del centro, che è l'errore più comune nel calcolo manuale e che questo strumento L'aiuta a individuare. Le unità sono quelle che passa Lei — metri, pixel o coordinate astratte — purché resti coerente; l'API non converte le unità per Lei. Per una verifica di andata e ritorno, espanda a mano la forma standard restituita e confermi di ritrovare D, E e F entro la tolleranza in virgola mobile, oppure invii due volte gli stessi coefficienti e confermi che il JSON corrisponda byte per byte.