Formula della circonferenza: equazione standard e generale
Le due equazioni di una circonferenza dal centro e dal raggio: centro (3, −2) e raggio 5 danno (x − 3)² + (y + 2)² = 25 e x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Pronte per schede e soluzionari. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Cx
- 3
- Cy
- -2
- Resistenza (Ω)
- 5
- Raggio
- 5
- Forma standard
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Forma generale
- x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
È l'algebra che gli studenti svolgono a mano e che il codice grafico esegue in tempo reale, risolta in modo deterministico in una sola chiamata: stesso centro e stesso raggio, esattamente le stesse equazioni, ogni volta.
Da un centro e un raggio a un'equazione
Una circonferenza è l'insieme dei punti la cui distanza da un centro fisso è uguale al raggio, e l'equazione non è altro che il teorema di Pitagora applicato a questa idea: (x − h)² + (y − k)² = r², dove (h, k) è il centro. La formula della circonferenza viene restituita come stringa pronta da leggere, quindi il risultato può andare direttamente in una scheda di esercizi, in un report o in una pagina renderizzata senza alcuna formattazione aggiuntiva da parte Sua.
Le coordinate del centro vengono restituite insieme al raggio, quindi la risposta è autonoma: tutto ciò che serve a un lettore per verificare l'equazione rispetto alla definizione originale è presente in un unico oggetto. I segni sono gestiti per Lei, compresi i casi che traggono in errore, come una coordinata di centro negativa che produce (x + 2)² invece di (x − −2)², o un centro su un asse che fa sparire del tutto la parentesi.
Forma standard e forma generale, fianco a fianco
Entrambe le forme comuni dell'equazione tornano nella stessa risposta. I coefficienti vengono restituiti anche numericamente come d, e ed f, quindi il codice che ha bisogno dei valori anziché della stringa non deve analizzare nulla. La forma generale è derivata in modo deterministico: D è meno due volte la x del centro, E è meno due volte la y del centro, ed F è h² + k² − r².
Quando un coefficiente è zero viene omesso dall'equazione stampata, quindi una circonferenza centrata nell'origine si legge semplicemente x² + y² = r² in forma standard e x² + y² − r² = 0 in forma generale, esattamente come un insegnante la scriverebbe alla lavagna.
Input rigoroso, errori onesti
Il raggio deve essere un numero positivo. Lo stesso rigore si applica al centro: entrambe le coordinate devono essere presenti e devono essere numeri finiti, e le stringhe numeriche sono accettate perché gli invii dei moduli arrivano spesso come testo. Questo rigore conta sia per la fatturazione sia per la correttezza — un input che non supera la validazione non viene mai addebitato, perché l'errore spetta al cliente e non è un calcolo consumato.
Casi d'uso
Generare compiti e prove d'esame
Fornisca centri e raggi casuali e ottenga le equazioni corrette in forma standard e generale da stampare come soluzioni, senza sviluppi manuali.
Disegnare circonferenze nel codice grafico
Converta un centro e un raggio da uno strumento di disegno nell'equazione implicita attesa da uno shader, da un plotter o da una libreria geometrica.
Correggere automaticamente le risposte degli studenti
Confronti un'equazione in forma generale inviata con i coefficienti deterministici d, e ed f invece di analizzare algebra scritta a mano.
Domande frequenti
Quanto costa?
È anche gratis eseguirlo nel Suo browser su questa pagina — lo stesso codice gira in entrambi i luoghi.
Che input serve?
Tre numeri: le coordinate x e y del centro e il raggio. Sono accettate anche le stringhe numeriche.
Cosa succede quando il centro è l'origine?
I termini nulli vengono omessi in modo pulito: ottiene x² + y² = r² in forma standard e x² + y² − r² = 0 in forma generale.
L'output è deterministico?
Sì. Non c'è casualità, né orologio né rete, e i numeri sono arrotondati a sei decimali, quindi lo stesso input produce sempre un output identico byte per byte.
Come si passa dalla forma canonica alla forma generale?
Sviluppi i quadrati e raccolga i termini. Il coefficiente di x è meno il doppio della x del centro, quello di y è meno il doppio della y del centro, e il termine noto è la somma dei loro quadrati meno il quadrato del raggio. Nell'esempio risultano −6, 4 e −12.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"cx":3,"cy":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
L'API della formula della circonferenza prende i due dati che definiscono una circonferenza — le coordinate del centro e il raggio — e restituisce l'equazione sia in forma standard, (x − h)² + (y − k)² = r², sia in forma generale, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, insieme ai coefficienti numerici D, E e F.
Da un centro e un raggio a un'equazione
Questo endpoint prende questi tre numeri — centro x, centro y e raggio — e scrive l'equazione per Lei.
Forma standard e forma generale, fianco a fianco
La forma standard mantiene la geometria visibile — può leggerci direttamente il centro e il raggio al quadrato — mentre la forma generale, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, è quella che i libri di testo chiedono nello sviluppo e che molti solutori accettano in ingresso.
Input rigoroso, errori onesti
Lo zero viene rifiutato perché una circonferenza di raggio zero è un punto, non una circonferenza, e i raggi negativi non hanno senso geometrico; in entrambi i casi riceve un errore invalid_input chiaro che nomina il campo del raggio invece di un'equazione silenziosamente sbagliata. I numeri sono arrotondati a sei decimali affinché l'output sia stabile tra macchine e tra chiamate ripetute, il che rende l'endpoint sicuro all'interno di test e confronti con file di riferimento, dove un artefatto in virgola mobile sfuggito farebbe fallire la build.
Domande tecniche
Perché il mio raggio è stato rifiutato?
Il raggio deve essere un numero positivo. I valori zero e negativi restituiscono un errore invalid_input, perché non descrivono una circonferenza.
Quali forme dell'equazione vengono restituite?
Entrambe: la forma standard (x − h)² + (y − k)² = r² e la forma generale x² + y² + Dx + Ey + F = 0, oltre ai coefficienti numerici d, e ed f.