Fórmula de la circunferencia: ecuación estándar y general
Las dos ecuaciones de una circunferencia desde su centro y su radio: centro (3, −2) y radio 5 dan (x − 3)² + (y + 2)² = 25 y x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Listas para fichas y solucionarios. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Cx
- 3
- Cy
- -2
- Resistencia (Ω)
- 5
- Radio
- 5
- Forma estándar
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Forma general
- x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
Es el álgebra que los estudiantes hacen a mano y que el código gráfico ejecuta en tiempo real, resuelta de forma determinista en una sola llamada: mismo centro y mismo radio, exactamente las mismas ecuaciones, siempre.
De un centro y un radio a una ecuación
Una circunferencia es el conjunto de puntos cuya distancia a un centro fijo es igual al radio, y la ecuación no es más que el teorema de Pitágoras aplicado a esa idea: (x − h)² + (y − k)² = r², donde (h, k) es el centro. La fórmula de la circunferencia se devuelve como una cadena lista para leer, de modo que el resultado puede ir directamente a una hoja de ejercicios, un informe o una página renderizada sin ningún formato adicional por su parte.
Las coordenadas del centro se devuelven junto al radio, así que la respuesta es autocontenida: todo lo que un lector necesita para comprobar la ecuación contra la definición original está presente en un solo objeto. Los signos se gestionan por usted, incluidos los casos que suelen fallar, como una coordenada de centro negativa que produce (x + 2)² en lugar de (x − −2)², o un centro sobre un eje que hace desaparecer el paréntesis por completo.
Forma estándar y forma general, una junto a la otra
Ambas formas habituales de la ecuación se devuelven en la misma respuesta. Los coeficientes también se devuelven numéricamente como d, e y f, de modo que el código que necesita los valores en lugar de la cadena no tiene que analizar nada. La forma general se deriva de forma determinista: D es menos dos veces la x del centro, E es menos dos veces la y del centro, y F es h² + k² − r².
Cuando un coeficiente es cero se omite en la ecuación impresa, así que una circunferencia centrada en el origen se lee simplemente x² + y² = r² en forma estándar y x² + y² − r² = 0 en forma general, exactamente como un profesor la escribiría en la pizarra.
Entrada estricta, errores honestos
El radio debe ser un número positivo. La misma rigurosidad se aplica al centro: ambas coordenadas deben estar presentes y ser números finitos, y se aceptan cadenas numéricas porque los envíos de formularios suelen llegar como texto. Este rigor importa tanto para la facturación como para la corrección: una entrada que no supera la validación nunca se cobra, porque el error es del cliente y no una computación consumida.
Qué puede hacer con ella
Generar ejercicios de deberes y exámenes
Alimente centros y radios aleatorios y obtenga las ecuaciones correctas en forma estándar y general para imprimir como solucionario, sin desarrollar a mano.
Dibujar circunferencias en código gráfico
Convierta un centro y un radio de una herramienta de dibujo en la ecuación implícita que espera un shader, un trazador o una biblioteca de geometría.
Corregir respuestas de estudiantes automáticamente
Compare una ecuación en forma general enviada con los coeficientes deterministas d, e y f en lugar de analizar álgebra escrita a mano.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta?
También es gratis ejecutarlo en su navegador en esta página: el mismo código corre en ambos sitios.
¿Qué entrada necesita?
Tres números: las coordenadas x e y del centro y el radio. También se aceptan cadenas numéricas.
¿Qué ocurre cuando el centro es el origen?
Los términos cero se omiten limpiamente: obtiene x² + y² = r² en forma estándar y x² + y² − r² = 0 en forma general.
¿La salida es determinista?
Sí. No hay aleatoriedad, ni reloj ni red, y los números se redondean a seis decimales, de modo que la misma entrada siempre produce una salida idéntica byte a byte.
¿Cómo paso de la forma estándar a la forma general?
Desarrolle los cuadrados y agrupe términos. El coeficiente de x es menos el doble de la x del centro, el de y es menos el doble de la y del centro, y el término independiente es la suma de sus cuadrados menos el radio al cuadrado. En el ejemplo salen −6, 4 y −12.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"cx":3,"cy":-2,"r":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"cx":3,"cy":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"cx": 3,
"cy": -2,
"r": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La API de fórmula de la circunferencia toma los dos datos que definen una circunferencia —las coordenadas de su centro y su radio— y devuelve su ecuación tanto en forma estándar, (x − h)² + (y − k)² = r², como en forma general, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, junto con los coeficientes numéricos D, E y F.
De un centro y un radio a una ecuación
Este endpoint toma esos tres números —centro x, centro y radio— y escribe la ecuación por usted.
Forma estándar y forma general, una junto a la otra
La forma estándar mantiene la geometría visible —puede leer el centro y el radio al cuadrado directamente— mientras que la forma general, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, es la que piden los libros de texto al desarrollar y la que muchos solucionadores aceptan como entrada.
Entrada estricta, errores honestos
El cero se rechaza porque una circunferencia de radio cero es un punto, no una circunferencia, y los radios negativos carecen de sentido geométrico; en ambos casos obtiene un error invalid_input claro que nombra el campo del radio en lugar de una ecuación silenciosamente incorrecta. Los números se redondean a seis decimales para que la salida sea estable entre máquinas y entre llamadas repetidas, lo que hace que el endpoint sea seguro dentro de pruebas y comparaciones de archivos dorados donde un artefacto flotante perdido rompería la compilación.
Preguntas técnicas
¿Por qué se rechazó mi radio?
El radio debe ser un número positivo. Los valores cero y negativos devuelven un error invalid_input, porque no describen una circunferencia.
¿Qué formas de la ecuación se devuelven?
Ambas: la forma estándar (x − h)² + (y − k)² = r² y la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, además de los coeficientes numéricos d, e y f.