De forma general a forma estándar del círculo
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 es la circunferencia de centro (3, −2) y radio 5. Escriba los tres coeficientes y el cuadrado se completa por usted, con un aviso cuando no existe una circunferencia real. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- D
- -6
- E
- 4
- F
- -12
- Radio
- 5
- Radio al cuadrado
- 25
- Ecuación estándar
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Ecuación general
- x^2 + y^2 - 6*x + 4*y - 12 = 0
La forma general de una circunferencia, x al cuadrado más y al cuadrado más Dx más Ey más F igual a cero, oculta lo que usted suele necesitar: dónde está el centro y cuánto mide el radio. Este conversor completa el cuadrado por usted y devuelve la forma estándar (x menos h) al cuadrado más (y menos k) al cuadrado igual a r al cuadrado, junto con las coordenadas del centro h y k, el radio, el radio al cuadrado y ambas ecuaciones en texto legible. Está pensado para revisar tareas, cursos de geometría analítica, notas de CAD y cualquier script que reciba coeficientes cuadráticos expandidos de un libro, un CAS o una canalización gráfica y necesite recuperar su significado geométrico.
De la forma general a la forma estándar completando el cuadrado
Una circunferencia con centro (h, k) y radio r se escribe en forma estándar como (x − h)² + (y − k)² = r². Volver atrás es el clásico ejercicio de completar el cuadrado. Agrupe los términos en x y en y, sume (D/2)² a ambos lados para x y (E/2)² para y, y la ecuación se reduce a (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F.
Al leer las partes se obtiene h = −D/2, k = −E/2 y r² = h² + k² − F, así que el radio es la raíz cuadrada positiva de esa cantidad. La herramienta realiza exactamente este álgebra en forma cerrada: divide a la mitad los coeficientes lineales con cambio de signo para obtener el centro, evalúa el radicando h² + k² − F y toma su raíz cuadrada como radio.
Qué puede hacer con ella
Revisión de tareas de completar el cuadrado
Los estudiantes pegan los coeficientes D, E, F de una hoja de ejercicios y comparan su forma estándar, centro y radio escritos a mano con un resultado determinista.
Recuperar geometría desde la salida de un CAS o shader
Los scripts que reciben coeficientes cuadráticos expandidos de un sistema de álgebra computacional o de una canalización gráfica recuperan el centro y el radio de la circunferencia en una sola llamada.
Enseñar convenciones de signos en geometría analítica
Los docentes demuestran cómo h = −D/2 y k = −E/2 invierten los signos respecto a los coeficientes generales, con ejemplos en vivo que coinciden línea por línea con el libro de texto.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la forma general de una circunferencia?
El centro es h = −D/2, k = −E/2, y r² = h² + k² − F.
¿Cuál es la forma estándar de una circunferencia?
La forma estándar es (x − h)² + (y − k)² = r², donde (h, k) es el centro y r es el radio positivo. Es lo que devuelve este conversor.
¿Por qué se rechaza mi entrada con un error de radio al cuadrado no positivo?
Porque h² + k² − F resultó ser cero o negativo. Cero significa que la ecuación describe un solo punto; negativo significa que no existe circunferencia real (una circunferencia imaginaria).
¿Cuánto cuesta?
Además, su uso en el navegador desde esta página es gratuito.
¿Admite coeficientes en los que x² e y² tienen una escala distinta de 1?
No. Primero divida toda la ecuación entre ese coeficiente común para que x² e y² tengan coeficiente 1, y luego envíe d, e y f.
¿Son deterministas los resultados?
Sí. La conversión es aritmética en forma cerrada redondeada a seis decimales, sin red, azar ni reloj de por medio, de modo que entradas idénticas siempre producen salidas idénticas.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":-6,"e":4,"f":-12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":-6,"e":4,"f":-12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":-6,"e":4,"f":-12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.general_to_standard_form_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
El cálculo es aritmética pura y determinista —sin llamadas de red, sin azar, sin dependencia del reloj—, de modo que la herramienta gratuita del navegador en esta página y la API prepagada devuelven el mismo JSON, byte por byte tras el redondeo decimal fijo, en cada llamada.
De la forma general a la forma estándar completando el cuadrado
Al expandir esos cuadrados y agrupar términos se obtiene la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, donde D = −2h, E = −2k y F = h² + k² − r². Como la forma general siempre tiene coeficientes 1 en x² e y² y carece de término xy, nunca hace falta escalar ni rotar: entran tres coeficientes y salen centro y radio, con las ecuaciones estándar y general generadas a partir de los mismos valores redondeados, de modo que lo que usted lee coincide con lo que la API calculó.
Entradas, salidas y comportamiento de errores de la API
Cada resultado numérico se redondea a seis decimales para que la salida sea estable entre máquinas y entornos. Un radicando cero significa que la ecuación describe un solo punto, y uno negativo significa que no existe circunferencia real alguna, lo que a veces se llama circunferencia imaginaria; el mensaje de error indica qué caso ocurrió y muestra el radicando problemático. Envíe un cuerpo JSON con los tres coeficientes de x² + y² + Dx + Ey + F = 0: d, e y f. Los tres son obligatorios y deben ser números finitos; los alias D, E, F y coeff_d, coeff_e, coeff_f corresponden a los mismos campos, lo cual resulta práctico al copiar coeficientes directamente de un volcado de CAS. Si la operación tiene éxito, la respuesta repite d, e y f, e informa un objeto center anidado con h y k, el radio, el valor radius_squared, las cadenas legibles standard_equation y general_equation, y method con el valor completing_the_square. En caso de fallo, la API devuelve invalid_input y la solicitud nunca se cobra: esto cubre coeficientes ausentes o no numéricos, valores fuera del rango absoluto publicado de un billón y —lo más importante— cualquier triple de coeficientes cuyo radio al cuadrado calculado sea cero o negativo. El precio es una tarifa fija de $0.002 por solicitud exitosa, con unidad de artículo y precio unitario marginal cero.
Consejos prácticos, ejemplos resueltos y límites
Comience con los clásicos de los libros para ganar confianza. Un caso degenerado como x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 produce radio al cuadrado cero y se rechaza como un solo punto, mientras que x² + y² + 1 = 0 produce un radicando negativo y se rechaza como circunferencia imaginaria. La circunferencia unitaria x² + y² − 1 = 0 tiene d = 0, e = 0, f = −1 y se convierte en centro (0, 0) con radio 1. Una circunferencia trasladada como x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 tiene d = −6, e = 4, f = −12 y se convierte en centro (3, −2) con radio 5, lo que da la ecuación estándar (x − 3)² + (y + 2)² = 25 — observe cómo cambian los signos entre los coeficientes generales y las coordenadas del centro, el error más común del álgebra manual que esta herramienta le ayuda a detectar. Mantenga todos los coeficientes dentro del límite absoluto publicado de un billón para que los cuadrados intermedios sigan siendo finitos en doble precisión IEEE, tanto en el Worker de borde como en el ejecutor del navegador. Las unidades son las que usted pase —metros, píxeles o coordenadas abstractas— siempre que sea coherente; la API no convierte unidades. Para verificar la ida y vuelta, expanda a mano la forma estándar devuelta y confirme que recupera D, E y F dentro de la tolerancia de punto flotante, o envíe los mismos coeficientes dos veces y confirme que el JSON coincide byte por byte.