Forma geral para forma padrão do círculo
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 é a circunferência de centro (3, −2) e raio 5. Digite os três coeficientes e o quadrado é completado para você, com um aviso quando não existe circunferência real. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- D
- -6
- E
- 4
- F
- -12
- Raio
- 5
- Raio ao quadrado
- 25
- Equação padrão
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Equação geral
- x^2 + y^2 - 6*x + 4*y - 12 = 0
A forma geral de um círculo, x ao quadrado mais y ao quadrado mais Dx mais Ey mais F igual a zero, esconde as duas coisas que você geralmente precisa: onde fica o centro e qual é o tamanho do raio. Este conversor completa o quadrado para você e devolve a forma padrão (x menos h) ao quadrado mais (y menos k) ao quadrado igual a r ao quadrado, junto com as coordenadas do centro h e k, o raio, o raio ao quadrado e as duas equações em texto legível. Ele foi feito para conferir dever de casa, cursos de geometria analítica, notas de CAD e qualquer script que recebe coeficientes quadráticos expandidos de um livro didático, de um CAS ou de um pipeline gráfico e precisa recuperar o significado geométrico.
Da forma geral à forma padrão completando o quadrado
Um círculo com centro (h, k) e raio r é escrito na forma padrão como (x − h)² + (y − k)² = r². Converter de volta é o clássico exercício de completar o quadrado. Agrupe os termos em x e os termos em y, some (D/2)² dos dois lados para x e (E/2)² para y, e a equação se reduz a (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F.
A leitura das partes dá h = −D/2, k = −E/2 e r² = h² + k² − F, de modo que o raio é a raiz quadrada positiva dessa quantidade. A ferramenta executa exatamente essa álgebra em forma fechada: divide os coeficientes lineares pela metade invertendo o sinal para obter o centro, calcula o radicando h² + k² − F e extrai sua raiz quadrada para o raio.
Casos de uso
Conferência de dever de casa sobre completar o quadrado
Estudantes colam os coeficientes D, E e F de uma apostila e comparam sua forma padrão, centro e raio feitos à mão com um resultado determinístico.
Recuperar a geometria de saídas de CAS ou shaders
Scripts que recebem coeficientes quadráticos expandidos de um sistema de álgebra computacional ou de um pipeline gráfico recuperam o centro e o raio do círculo em uma chamada.
Ensinar convenções de sinais em geometria analítica
Professores demonstram como h = −D/2 e k = −E/2 invertem os sinais em relação aos coeficientes gerais, usando exemplos ao vivo que batem linha a linha com o livro didático.
Perguntas frequentes
O que é a forma geral de um círculo?
O centro é h = −D/2, k = −E/2, e r² = h² + k² − F.
O que é a forma padrão de um círculo?
A forma padrão é (x − h)² + (y − k)² = r², onde (h, k) é o centro e r é o raio positivo. É o que este conversor retorna.
Por que minha entrada foi rejeitada com erro de raio ao quadrado não positivo?
Porque h² + k² − F resultou em zero ou negativo. Zero significa que a equação descreve um único ponto; negativo significa que não existe círculo real (um círculo imaginário).
Quanto custa?
Também é grátis executar no seu navegador nesta página.
Ele aceita coeficientes em que x² e y² têm escala diferente de 1?
Não. Divida toda a equação por esse coeficiente comum primeiro, de modo que x² e y² fiquem com coeficiente 1, e então envie d, e e f.
Os resultados são determinísticos?
Sim. A conversão é aritmética em forma fechada arredondada para seis casas decimais, sem rede, aleatoriedade ou relógio envolvidos, portanto entradas idênticas sempre produzem saídas idênticas.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":-6,"e":4,"f":-12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":-6,"e":4,"f":-12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":-6,"e":4,"f":-12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.general_to_standard_form_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O cálculo é aritmética pura e determinística — sem chamadas de rede, sem aleatoriedade, sem dependência de relógio —, de modo que a ferramenta gratuita do navegador nesta página e a API pré-paga retornam o mesmo JSON, byte a byte após o arredondamento decimal fixo, em todas as chamadas.
Da forma geral à forma padrão completando o quadrado
Expandir esses quadrados e agrupar os termos produz a forma geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0, onde D = −2h, E = −2k e F = h² + k² − r². Como a forma geral sempre tem coeficientes iguais a 1 em x² e y² e não tem termo xy, nunca é preciso escalar nem girar — a conversão recebe três coeficientes e devolve centro e raio, com as equações padrão e geral geradas a partir dos mesmos valores arredondados, para que o que você lê corresponda ao que a API calculou.
Entradas, saídas e comportamento de erro da API
Todo resultado numérico é arredondado para seis casas decimais, para que a saída seja estável entre máquinas e runtimes. Um radicando zero significa que a equação descreve um único ponto, e um negativo significa que não existe círculo real algum, às vezes chamado de círculo imaginário; a mensagem de erro informa qual caso ocorreu e mostra o radicando problemático. Envie um corpo JSON com os três coeficientes de x² + y² + Dx + Ey + F = 0: d, e e f. Os três são obrigatórios e devem ser números finitos; os aliases D, E, F e coeff_d, coeff_e, coeff_f apontam para os mesmos campos, o que é prático quando você copia coeficientes direto de uma saída de CAS. Em caso de sucesso, a resposta ecoa d, e e f, depois informa um objeto center aninhado com h e k, o raio, o valor radius_squared, as strings legíveis standard_equation e general_equation, e method definido como completing_the_square. Em caso de falha, a API retorna invalid_input e a requisição nunca é cobrada: isso cobre coeficientes ausentes ou não numéricos, valores fora do intervalo absoluto publicado de um trilhão e — mais importante — qualquer trio de coeficientes cujo raio ao quadrado calculado seja zero ou negativo. O preço é fixo: US$ 0,002 por requisição bem-sucedida, com item unitário e preço unitário marginal zero.
Dicas práticas, exemplos resolvidos e limites
Comece pelos clássicos dos livros para ganhar confiança. Um caso degenerado como x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 produz raio ao quadrado zero e é rejeitado como um único ponto, enquanto x² + y² + 1 = 0 produz radicando negativo e é rejeitado como círculo imaginário. O círculo unitário x² + y² − 1 = 0 tem d = 0, e = 0, f = −1 e converte para centro (0, 0) com raio 1. Um círculo transladado como x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 tem d = −6, e = 4, f = −12 e converte para centro (3, −2) com raio 5, dando a equação padrão (x − 3)² + (y + 2)² = 25 — observe como os sinais se invertem entre os coeficientes gerais e as coordenadas do centro, que é o erro mais comum na álgebra manual e que esta ferramenta ajuda você a detectar. Mantenha todos os coeficientes dentro do limite absoluto publicado de um trilhão, para que os quadrados intermediários permaneçam finitos em precisão dupla IEEE tanto no edge Worker quanto no executor do navegador. As unidades são as que você passar — metros, pixels ou coordenadas abstratas —, desde que seja consistente; a API não converte unidades. Para verificação de ida e volta, expanda manualmente a forma padrão retornada e confirme que recupera D, E e F dentro da tolerância de ponto flutuante, ou envie os mesmos coeficientes duas vezes e confirme que o JSON confere byte a byte.