ForHosting KIT · Matemática

Equação geral da circunferência

Uma circunferência de centro (3, −2) e raio 5 tem a equação geral x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Informe o centro e o raio e receba os três coeficientes, sem sinal trocado nem quadrado esquecido. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

H: 3
K: -2
Resistência (Ω): 5

Você obtém

A: -6
B: 4
C: -12

Esta capability faz essa expansão por você: você envia as coordenadas do centro h e k junto com o raio r e recebe de volta os três coeficientes A, B e C, calculados de forma determinística e arredondados para um número fixo de casas decimais. É uma conversão pequena, mas que aparece constantemente em exercícios de geometria analítica, ferramentas de CAD, código de computação gráfica e qualquer sistema que armazena circunferências na forma polinomial expandida. Uma chamada, três números, nada armazenado, e o mesmo código roda gratuitamente no seu navegador nesta página.

Do centro e do raio a um único polinômio

Toda circunferência no plano é totalmente descrita por três números: as coordenadas x e y do seu centro e o comprimento do seu raio. Escrita como (x − h)² + (y − k)² = r², essa descrição é chamada de forma padrão ou centro-raio, e é a forma da qual você lê as informações geométricas num relance. A conversão é álgebra pura, sem nenhuma aproximação, mas fazê-la à mão é exatamente o tipo de passo mecânico em que um sinal escapa ou um quadrado é esquecido.

Como os termos quadráticos sempre têm coeficiente um, três números são tudo o que a resposta precisa.

Como os coeficientes são calculados e arredondados

A implementação é deliberadamente transparente: A é menos o dobro da coordenada x do centro, B é menos o dobro da coordenada y do centro, e C é a soma das coordenadas ao quadrado menos o raio ao quadrado. As entradas são validadas antes de qualquer aritmética: as coordenadas do centro devem ser números finitos, e o raio deve ser estritamente positivo, pois um raio zero descreve um único ponto e um raio negativo não descreve nada.

Não há aleatoriedade, relógio ou chamada de rede em nenhum ponto do caminho, o que torna os exemplos de referência reproduzíveis e os resultados seguros para cache.

Onde a forma geral é realmente usada

A forma padrão é o que você quer quando uma pessoa está lendo a equação, mas a forma geral é o que muitos sistemas armazenam e transmitem. Solucionadores de seções cônicas, ajustes de circunferência por mínimos quadrados e bibliotecas de geometria algébrica tratam a circunferência como um caso de polinômio de segundo grau, e esperam os coeficientes expandidos em vez de uma tripla centro-raio.

Pipelines de computação gráfica às vezes mantêm circunferências na forma geral porque interseções com retas e outras circunferências se reduzem a pequenos problemas de álgebra linear nesses coeficientes. Livros didáticos e provas transitam entre as duas formas nos dois sentidos, pedindo aos estudantes que expandam uma circunferência dada ou que completem o quadrado a partir de coeficientes dados, então um conversor confiável também serve para conferir o trabalho manual.

Usuários programáticos geralmente chamam esta capability como etapa de normalização: não importa em que forma a circunferência chegue, eles a convertem para a forma geral antes de armazená-la, de modo que comparações e desduplicação se tornam simples igualdades de coeficientes.

Casos de uso

Normalizar circunferências antes de armazenar

Converta definições de circunferência em centro-raio para coeficientes da forma geral, de modo que comparações, desduplicação e indexação num banco de dados geométrico se tornem simples verificações de igualdade de coeficientes.

Alimentar um solucionador de seções cônicas

Passe A, B e C diretamente para uma biblioteca que trata circunferências como polinômios de segundo grau para trabalhos de interseção, ajuste ou transformação.

Conferir lição de geometria analítica

Expanda (x − h)² + (y − k)² = r² à mão e depois verifique os coeficientes resultantes contra a resposta determinística em uma única chamada.

Perguntas frequentes

Quanto custa?

Também é grátis rodar no seu navegador nesta página — o mesmo código é executado nos dois lugares.

O que são exatamente A, B e C?

Para uma circunferência com centro (h, k) e raio r, eles são A = −2h, B = −2k e C = h² + k² − r².

Por que um raio zero ou menor falha?

Um raio zero descreve um único ponto, não uma circunferência, e um raio negativo é geometricamente sem sentido.

Posso controlar a precisão do resultado?

Sim. A opção decimals define o número de casas decimais, de 0 a 12, com arredondamento half-up. O padrão é 12, o que mantém a saída estável byte a byte entre plataformas.

Como volto da forma geral para centro e raio?

Complete o quadrado: h = −A/2, k = −B/2 e r = √(h² + k² − C). A direção inversa é coberta pela capability dedicada de equação da circunferência no catálogo.

Algo que eu envio é armazenado?

Não. Os números são validados, os três coeficientes são calculados e a resposta é devolvida; a entrada é descartada imediatamente.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"h":3,"k":-2,"r":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "h": 3,
    "k": -2,
    "r": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "h": 3,
    "k": -2,
    "r": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"h":3,"k":-2,"r":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"h":3,"k":-2,"r":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-form-equation-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "h": 3,
  "k": -2,
  "r": 5
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.general_form_equation_circle",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

A equação geral da circunferência, x² + y² + Ax + By + C = 0, é a forma que a equação assume quando você expande a conhecida forma padrão (x − h)² + (y − k)² = r² e reúne todos os termos em um único lado.

Do centro e do raio a um único polinômio

Expandir os dois quadrados dá x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r², e mover tudo para o lado esquerdo produz x² + y² + Ax + By + C = 0, a forma geral, com A = −2h, B = −2k e C = h² + k² − r². Este endpoint realiza essa expansão para qualquer centro finito e qualquer raio positivo, devolvendo os três coeficientes como números JSON simples, prontos para alimentar um documento, uma rotina de desenho ou um solucionador posterior sem parsing adicional.

Como os coeficientes são calculados e arredondados

Fornecer um raio não positivo, um campo ausente ou um valor não numérico retorna um erro invalid_input com uma mensagem que indica o campo problemático, e requisições com falha não são cobradas.

Onde a forma geral é realmente usada

A US$ 0,002 por requisição, é barata o suficiente para rodar inline num pipeline, e a versão do navegador não custa nada.

Ver a documentação completa do KIT →

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Onde a forma geral é realmente usada

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Exemplo de resposta

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obrigado