Forme générale vers forme standard du cercle
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 est le cercle de centre (3, −2) et de rayon 5. Saisissez les trois coefficients : le carré est complété pour vous, avec un avertissement quand aucun cercle réel n'existe. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- D
- -6
- E
- 4
- F
- -12
- Rayon
- 5
- Rayon au carré
- 25
- Équation standard
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- Équation générale
- x^2 + y^2 - 6*x + 4*y - 12 = 0
La forme générale d'un cercle, x au carré plus y au carré plus Dx plus Ey plus F égal à zéro, masque les deux informations dont vous avez le plus souvent besoin : où se trouve le centre et quelle est la taille du rayon. Ce convertisseur complète le carré pour vous et renvoie la forme standard (x moins h) au carré plus (y moins k) au carré égal à r au carré, ainsi que les coordonnées du centre h et k, le rayon, le rayon au carré et les deux équations affichées en texte lisible. Il est conçu pour la vérification des devoirs, les cours de géométrie analytique, les notes de CAO et tout script qui reçoit des coefficients quadratiques développés d'un manuel, d'un CAS ou d'un pipeline graphique et doit en retrouver le sens géométrique.
De la forme générale à la forme standard en complétant le carré
Un cercle de centre (h, k) et de rayon r s'écrit sous forme standard (x − h)² + (y − k)² = r². La conversion inverse est le classique exercice de complétion du carré. Regroupez les termes en x et en y, ajoutez (D/2)² aux deux membres pour x et (E/2)² pour y, et l'équation se réduit à (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F.
On lit alors directement h = −D/2, k = −E/2 et r² = h² + k² − F, le rayon étant la racine carrée positive de cette quantité. L'outil effectue exactement cette algèbre sous forme close : il divise par deux les coefficients linéaires en inversant le signe pour obtenir le centre, évalue le radicande h² + k² − F et en prend la racine carrée pour le rayon.
Cas d’usage
Vérification des devoirs sur la complétion du carré
Les élèves collent les coefficients D, E, F d'une feuille d'exercices et comparent leur forme standard, leur centre et leur rayon calculés à la main avec un résultat déterministe.
Retrouver la géométrie depuis une sortie CAS ou shader
Les scripts qui reçoivent des coefficients quadratiques développés d'un système de calcul formel ou d'un pipeline graphique retrouvent le centre et le rayon du cercle en un seul appel.
Enseigner les conventions de signes en géométrie analytique
Les enseignants montrent comment h = −D/2 et k = −E/2 inversent les signes par rapport aux coefficients de la forme générale, avec des exemples en direct qui suivent le manuel ligne par ligne.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la forme générale d'un cercle ?
Le centre est h = −D/2, k = −E/2, et r² = h² + k² − F.
Qu'est-ce que la forme standard d'un cercle ?
La forme standard est (x − h)² + (y − k)² = r², où (h, k) est le centre et r le rayon positif. C'est ce que ce convertisseur renvoie.
Pourquoi ma saisie est-elle rejetée avec une erreur de rayon au carré non positif ?
Parce que h² + k² − F est nul ou négatif. Zéro signifie que l'équation décrit un point unique ; une valeur négative signifie qu'aucun cercle réel n'existe (un cercle imaginaire).
Combien cela coûte-t-il ?
L'outil est également gratuit dans votre navigateur sur cette page.
Gère-t-il les coefficients où x² et y² ont un facteur autre que 1 ?
Non. Divisez d'abord toute l'équation par ce coefficient commun pour que x² et y² aient tous deux un coefficient de 1, puis envoyez d, e et f.
Les résultats sont-ils déterministes ?
Oui. La conversion est une arithmétique sous forme close arrondie à six décimales, sans réseau, aléa ni horloge, donc des entrées identiques produisent toujours une sortie identique.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":-6,"e":4,"f":-12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":-6,"e":4,"f":-12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":-6,"e":4,"f":-12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.general_to_standard_form_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Le calcul repose sur une arithmétique pure et déterministe — aucun appel réseau, aucun aléa, aucune dépendance à l'horloge — de sorte que l'outil gratuit du navigateur sur cette page et l'API prépayée renvoient le même JSON, octet pour octet après arrondi décimal fixe, à chaque appel.
De la forme générale à la forme standard en complétant le carré
En développant ces carrés et en regroupant les termes, on obtient la forme générale x² + y² + Dx + Ey + F = 0, où D = −2h, E = −2k et F = h² + k² − r². Comme la forme générale a toujours des coefficients égaux à 1 devant x² et y² et aucun terme en xy, aucune étape de mise à l'échelle ni de rotation n'est jamais nécessaire — la conversion prend trois coefficients en entrée et renvoie centre et rayon, avec les équations standard et générale générées à partir des mêmes valeurs arrondies, pour que ce que vous lisez corresponde exactement à ce que l'API a calculé.
Entrées, sorties et gestion des erreurs de l'API
Chaque résultat numérique est arrondi à six décimales pour une sortie stable d'une machine ou d'un environnement à l'autre. Un radicande nul signifie que l'équation décrit un point unique, et un radicande négatif qu'aucun cercle réel n'existe, ce qu'on appelle parfois un cercle imaginaire ; le message d'erreur indique le cas rencontré et affiche le radicande fautif. Envoyez un corps JSON avec les trois coefficients de x² + y² + Dx + Ey + F = 0 : d, e et f. Les trois sont obligatoires et doivent être des nombres finis ; les alias D, E, F et coeff_d, coeff_e, coeff_f correspondent aux mêmes champs, ce qui est pratique quand vous copiez les coefficients directement depuis une sortie CAS. En cas de succès, la réponse reprend d, e et f, puis fournit un objet center imbriqué avec h et k, le rayon, la valeur radius_squared, les chaînes lisibles standard_equation et general_equation, et method fixé à completing_the_square. En cas d'échec, l'API renvoie invalid_input et la requête n'est jamais facturée : cela couvre les coefficients manquants ou non numériques, les valeurs hors de la plage absolue publiée de mille milliards, et — surtout — tout triplet de coefficients dont le rayon au carré calculé est nul ou négatif. La tarification est forfaitaire : $0.002 par requête réussie, avec un article unitaire et un prix unitaire marginal nul.
Conseils pratiques, exemples résolus et limites
Commencez par les grands classiques des manuels pour prendre confiance. Un cas dégénéré comme x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 donne un rayon au carré nul et est rejeté comme point unique, tandis que x² + y² + 1 = 0 donne un radicande négatif et est rejeté comme cercle imaginaire. Le cercle unité x² + y² − 1 = 0 a d = 0, e = 0, f = −1 et se convertit en centre (0, 0) avec un rayon de 1. Un cercle translaté comme x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 a d = −6, e = 4, f = −12 et se convertit en centre (3, −2) avec un rayon de 5, donnant l'équation standard (x − 3)² + (y + 2)² = 25 — remarquez l'inversion des signes entre les coefficients de la forme générale et les coordonnées du centre, erreur la plus fréquente en calcul manuel que cet outil vous aide à repérer. Gardez tous les coefficients dans la limite absolue publiée de mille milliards afin que les carrés intermédiaires restent finis en double précision IEEE, tant sur le Worker edge que dans le navigateur. Les unités sont celles que vous fournissez — mètres, pixels ou coordonnées abstraites — tant que vous restez cohérent ; l'API ne convertit pas les unités à votre place. Pour vérifier l'aller-retour, développez à la main la forme standard renvoyée et confirmez que vous retrouvez D, E et F à la tolérance flottante près, ou envoyez deux fois les mêmes coefficients et confirmez que le JSON correspond octet pour octet.