من الصيغة العامة إلى القياسية للدائرة
المعادلة x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 هي دائرة مركزها (3, −2) ونصف قطرها 5. أدخل المعاملات الثلاثة ليُكمَل المربع نيابةً عنك، مع تنبيه حين لا توجد دائرة حقيقية. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- D
- -6
- E
- 4
- F
- -12
- نصف القطر
- 5
- مربع نصف القطر
- 25
- المعادلة القياسية
- (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
- المعادلة العامة
- x^2 + y^2 - 6*x + 4*y - 12 = 0
الصيغة العامة للدائرة، x تربيع زائد y تربيع زائد Dx زائد Ey زائد F يساوي صفرًا، تُخفي أهم شيئين تحتاج إليهما عادة: موضع المركز ومقدار نصف القطر. يقوم هذا المحوِّل بإكمال المربع نيابة عنك ويعيد الصيغة القياسية (x ناقص h) تربيع زائد (y ناقص k) تربيع يساوي r تربيع، إلى جانب إحداثيي المركز h وk، ونصف القطر، ومربع نصف القطر، ونصي المعادلتين بصيغة مقروءة. صُمِّم لمراجعة الواجبات المنزلية، ومقررات الهندسة التحليلية، وملاحظات CAD، وأي سكربت يستقبل معاملات تربيعية موسَّعة من كتاب مدرسي أو نظام CAS أو خط أنابيب رسوميات ويحتاج إلى استرجاع المعنى الهندسي.
من الصيغة العامة إلى الصيغة القياسية بإكمال المربع
تُكتب الدائرة ذات المركز (h, k) ونصف القطر r بالصيغة القياسية (x − h)² + (y − k)² = r². أما التحويل العكسي فهو تمرين إكمال المربع الكلاسيكي. جمِّع حدود x وحدود y، وأضِف (D/2)² إلى الطرفين من أجل x و(E/2)² من أجل y، فتنهار المعادلة إلى (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F.
وبقراءة الأجزاء نستنتج h = −D/2 وk = −E/2 وr² = h² + k² − F، ومنه يكون نصف القطر هو الجذر التربيعي الموجب لتلك الكمية. تنفذ الأداة هذه الجبر نفسه بصيغة مغلقة: تُنصِّف المعاملات الخطية مع قلب الإشارة للحصول على المركز، وتحسب ما تحت الجذر h² + k² − F، ثم تأخذ جذره التربيعي لنصف القطر.
حالات الاستخدام
مراجعة الواجبات المنزلية لإكمال المربع
يلصق الطلاب معاملات D وE وF من ورقة العمل ويقارنون الصيغة القياسية والمركز ونصف القطر المكتوبة بأيديهم مع نتيجة حتمية.
استرجاع الهندسة من مخرجات CAS أو shader
السكربتات التي تستقبل معاملات تربيعية موسَّعة من نظام جبر حاسوبي أو خط أنابيب رسوميات تسترجع مركز الدائرة ونصف قطرها في استدعاء واحد.
تدريس اصطلاحات الإشارات في الهندسة التحليلية
يوضح المدرسون كيف أن h = −D/2 وk = −E/2 يقلبان الإشارات مقارنة بمعاملات الصيغة العامة، باستخدام أمثلة حية تطابق الكتاب المدرسي سطرًا بسطر.
الأسئلة الشائعة
ما الصيغة العامة للدائرة؟
المركز هو h = −D/2 وk = −E/2، وr² = h² + k² − F.
ما الصيغة القياسية للدائرة؟
الصيغة القياسية هي (x − h)² + (y − k)² = r²، حيث (h, k) هو المركز وr هو نصف القطر الموجب. وهي ما يعيده هذا المحوِّل.
لماذا رُفض إدخالي بخطأ مربع نصف قطر غير موجب؟
لأن h² + k² − F خرجت صفرًا أو سالبة. الصفر يعني أن المعادلة تصف نقطة واحدة؛ والسالب يعني عدم وجود دائرة حقيقية (دائرة تخيلية).
كم تبلغ التكلفة؟
ويمكن أيضًا تشغيلها مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة.
هل تتعامل مع معاملات يكون فيها لـ x² وy² عامل مقياس غير 1؟
لا. اقسم المعادلة بأكملها على ذلك المعامل المشترك أولًا حتى يصبح معامل x² وy² كليهما 1، ثم أرسِل d وe وf.
هل النتائج حتمية؟
نعم. التحويل حساب بصيغة مغلقة مقرَّب إلى ست منازل عشرية، دون شبكة أو عشوائية أو ساعة، لذا تنتج المدخلات المتطابقة دائمًا مخرجات متطابقة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":-6,"e":4,"f":-12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":-6,"e":4,"f":-12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":-6,"e":4,"f":-12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/general-to-standard-form-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"d": -6,
"e": 4,
"f": -12
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.general_to_standard_form_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
min_radius | 1e-15 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
مسار الحل حساب صرف حتمي — لا اتصالات شبكية، لا عشوائية، لا اعتماد على الساعة — لذا تُعيد الأداة المجانية في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة مسبقًا JSON نفسه، بايتًا ببايت بعد التقريب العشري الثابت، في كل مرة تستدعيها.
من الصيغة العامة إلى الصيغة القياسية بإكمال المربع
وبفك تلك المربعات وتجميع الحدود نحصل على الصيغة العامة x² + y² + Dx + Ey + F = 0، حيث D = −2h وE = −2k وF = h² + k² − r². ولأن الصيغة العامة تكون فيها دائمًا معاملات x² وy² متساوية وقيمتها 1 ولا يوجد حد xy، فلا حاجة إطلاقًا إلى خطوة تحجيم أو تدوير — التحويل هو ثلاثة معاملات مدخلة، ومركز ونصف قطر مُخرَجَين، مع توليد نصي المعادلتين القياسية والعامة من القيم المقرَّبة نفسها بحيث يطابق ما تقرؤه ما حسبته API.
مدخلات API ومخرجاتها وسلوكها عند الخطأ
تُقرَّب كل النتائج العددية إلى ست منازل عشرية ليكون الناتج ثابتًا عبر الأجهزة وبيئات التشغيل. فالجذر الصفري يعني أن المعادلة تصف نقطة واحدة، والسالب يعني أنه لا توجد دائرة حقيقية أصلًا، ويُسمى أحيانًا دائرة تخيلية؛ ورسالة الخطأ تخبرك أي الحالتين وقعت وتُظهر قيمة ما تحت الجذر المخالفة. أرسِل جسم JSON يتضمن معاملات x² + y² + Dx + Ey + F = 0 الثلاثة: d وe وf. الثلاثة كلها مطلوبة ويجب أن تكون أعدادًا منتهية؛ والأسماء البديلة D وE وF وكذلك coeff_d وcoeff_e وcoeff_f تُحوَّل إلى الحقول نفسها، وهو أمر مريح عند نسخ المعاملات مباشرة من مخرجات CAS. عند النجاح يُعيد الرد d وe وf، ثم يُبلغ عن كائن center متداخل يضم h وk، ونصف القطر، وقيمة radius_squared، ونصي standard_equation وgeneral_equation المقروءين، وmethod مضبوطة على completing_the_square. وعند الفشل تُعيد API الرمز invalid_input ولا يُحتسَب الطلب أبدًا: ويشمل ذلك المعاملات المفقودة أو غير العددية، والقيم الخارجة عن النطاق المطلق المنشور البالغ تريليونًا، و— الأهم — أي ثلاثية معاملات يكون مربع نصف القطر المحسوب لها صفرًا أو سالبًا. التسعير ثابت $0.002 لكل طلب ناجح مع بند وحدة واحد وسعر وحدة هامشي صفري.
نصائح عملية وأمثلة محلولة وحدود
ابدأ بأمثلة الكتب المدرسية الكلاسيكية لبناء الثقة. وحالة منحلة مثل x² + y² + 2x + 2y + 2 = 0 تعطي مربع نصف قطر صفريًا فتُرفَض بوصفها نقطة واحدة، بينما x² + y² + 1 = 0 تعطي مقدارًا سالبًا تحت الجذر فتُرفَض بوصفها دائرة تخيلية. الدائرة الوحدوية x² + y² − 1 = 0 لها d = 0 وe = 0 وf = −1 وتتحول إلى مركز (0, 0) ونصف قطر 1. ودائرة مزاحة مثل x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 لها d = −6 وe = 4 وf = −12 وتتحول إلى مركز (3, −2) ونصف قطر 5، معطية المعادلة القياسية (x − 3)² + (y + 2)² = 25 — لاحظ كيف تنعكس الإشارات بين معاملات الصيغة العامة وإحداثيي المركز، وهو أكثر أخطاء الحساب اليدوي شيوعًا الذي تساعدك هذه الأداة على اكتشافه. أبقِ جميع المعاملات ضمن الحد المطلق المنشور البالغ تريليونًا كي تبقى المربعات الوسيطة منتهية بدقة IEEE مزدوجة على كل من Worker الطرفي ومُشغِّل المتصفح. الوحدات هي أيًّا كان ما تمرره — أمتارًا أو بكسلات أو إحداثيات مجردة — ما دمت متسقًا؛ فالـ API لا تحوِّل الوحدات نيابة عنك. وللتحقق بالذهاب والإياب، فُكّ الصيغة القياسية المُعادة يدويًا وتأكد من استرجاع D وE وF ضمن سماحية الفاصلة العائمة، أو أدخِل المعاملات نفسها مرتين وتأكد من تطابق JSON بايتًا ببايت.