Intersection droite-parabole
La droite y = x + 2 coupe la parabole y = x^2 en (-1, 1) et (2, 4) : le calculateur égale les deux, résout l’équation du second degré et lit le discriminant, ici 9, pour distinguer sécante, tangente ou aucun point commun. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- 0
- C
- 0
- M
- 1
- K
- 2
- Parabole
- y=1x^2+0x+0
- Droite
- y=1x+2
- Équation
- 1x^2-1x-2=0
- A
- 1
Trouver où une droite rencontre une parabole est une compétence centrale en algèbre : égalisez les expressions, réduisez à une équation du second degré et lisez le discriminant. Les élèves ont besoin des deux couples ordonnés lorsque la droite est sécante, du unique point de tangence lorsqu'elle touche une fois, et d'un résultat vide clair lorsque les graphes se manquent dans le plan réel. Ce calculateur d'intersection droite-parabole accepte les cinq coefficients finis de y égal à a x au carré plus b x plus c et de y égal à m x plus k, substitue la droite dans la parabole, résout A x au carré plus B x plus C égal à zéro avec A égal à a, B égal à b moins m et C égal à c moins k, et renvoie les points réels avec y récupéré sur la droite.
Substitution : de deux graphes à une équation du second degré
Une parabole d'ouverture verticale écrite sous la forme y égal à a x au carré plus b x plus c et une droite non verticale écrite sous la forme y égal à m x plus k se coupent là où les deux expressions donnent le même y pour le même x. Les égaliser produit a x au carré plus b x plus c égal à m x plus k.
En passant tous les termes d'un seul côté on obtient l'équation du second degré générale A x au carré plus B x plus C égal à zéro, dont les trois coefficients se construisent sans itération : A est simplement a, B est b moins m et C est c moins k. Le discriminant Delta égal à B au carré moins quatre A C décide alors de la géométrie.
Si Delta est positif la droite est sécante et deux valeurs réelles distinctes de x apparaissent via la formule quadratique ; chaque x est associé à y égal à m x plus k, de sorte que la réponse est deux points cartésiens ordonnés par x croissant. Si Delta est exactement zéro la droite est tangente et la racine double se réduit à un unique point de contact.
Si Delta est négatif il n'y a pas d'intersection réelle : le nombre de solutions renvoyé est zéro et le tableau points est vide, ce qui correspond au langage de classe selon lequel le système n'a pas de solution réelle sans traiter ce résultat comme une erreur d'entrée dure. Le coefficient a doit être non nul car a égal à zéro transformerait la première équation en une autre droite et le problème ne serait plus un système non linéaire droite-parabole.
Utilisez la chaîne écho de la parabole, celle de la droite, l'équation réduite et le champ formula pour afficher les étapes algébriques à côté des points numériques dans une fiche ou un panneau de rétroaction LMS.
Où l’intersection droite–parabole est utile
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur d'intersection droite et parabole pour que les apprenants vérifient des couples ordonnés pour des coefficients arbitraires sans erreurs de signe en développant à la main b moins m ou c moins k. Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui renvoie zéro, un ou deux points à partir du discriminant au lieu d'inventer une paire complexe ou de traiter un succès vide comme une panne réseau. Une validation échouée ne consomme pas le solde.
Gardez les requêtes compactes, figez les points arrondis dans les tests, et vous obtenez des intersections reproductibles pour les devoirs, les plugins LMS et les workers de bord sans monter une infrastructure symbolique propre.
Cas d’usage
Contrôles en classe et devoirs
Laissez les élèves envoyer les coefficients de parabole a, b, c et de droite m, k, puis vérifier zéro, un ou deux points d'intersection ordonnés par rapport à la substitution du manuel.
Carnets et modèles simples courbe–cible
Résolvez y=ax²+bx+c contre y=mx+k dans des scripts pour projectiles, courbes de coût ou contrôles de conception sans importer un CAS complet.
Questions fréquentes
Comment trouver où une droite rencontre une parabole ?
Envoyez a fini (non nul), b, c pour y=ax²+bx+c et m, k pour y=mx+k.
Que signifie un nombre de solutions de zéro, un ou deux ?
Discriminant positif → deux points sécants ; zéro → un point de tangence ; négatif → pas d'intersection réelle (tableau points vide, ce n'est pas une erreur).
Pourquoi a doit-il être non nul ?
Si a vaut zéro, y=ax²+bx+c est une droite, pas une parabole. Le solveur exige a≠0 pour que le système reste un vrai problème droite–parabole.
Que se passe-t-il si la droite ne fait que toucher la parabole ?
La droite est alors tangente : le discriminant est nul et il n’y a qu’un point de contact. Pour la parabole y = x^2 et la droite 2x − 1, ce point est (1, 1).
Le calculateur donne-t-il des intersections complexes ?
Non, il travaille uniquement dans le plan réel. Si le discriminant est négatif, les courbes ne se rencontrent pas : le nombre de solutions vaut zéro et la liste de points est vide, ce qui est un résultat valide et non une erreur.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", {
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"b": 0,
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":0,"m":1,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-nonlinear-line-parabola", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0,
"m": 1,
"k": 2
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_nonlinear_line_parabola",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Lorsque a vaut zéro la courbe n'est pas une parabole et la tâche échoue avec invalid_input.
Substitution : de deux graphes à une équation du second degré
Ce endpoint ne résout que le plan réel ; les racines complexes ne sont pas émises.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et cas limites
Exemple : a égal à un, b égal à zéro, c égal à zéro, m égal à un, k égal à deux décrit y égal à x au carré et y égal à x plus deux. La substitution donne x au carré moins x moins deux égal à zéro, racines x égal à moins un et x égal à deux, et points moins un virgule un et deux virgule quatre. Un exemple de tangence est y égal à x au carré avec y égal à deux x moins un : discriminant zéro et l'unique point un virgule un. Associez la réponse numérique à votre propre traceur si vous avez besoin d'un croquis ; cette capacité ne renvoie que des coordonnées et de l'algèbre. Envoyez en POST un corps JSON avec cinq nombres finis obligatoires : a, le coefficient quadratique non nul de la parabole ; b et c, les autres coefficients de la parabole ; m, la pente de la droite ; et k, l'ordonnée à l'origine de la droite. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique. L'alias slope est accepté pour m, et intercept ou y_intercept pour k, de sorte que les clients qui parlent déjà en pente-ordonnée n'ont pas besoin d'une couche de renommage. Champs manquants, chaînes vides, valeurs non finies et a égal à zéro échouent avec invalid_input en nommant le problème ; ces échecs ne sont pas facturés. En succès le corps renvoie a, b, c, m et k arrondis à douze décimales pour des goldens stables ; les chaînes d'affichage de la parabole et de la droite ; l'équation réduite ; les intermédiaires A, B et C ; le discriminant ; solution_count à zéro, un ou deux ; points comme tableau d'objets avec x et y ; method fixé à substitution ; et une courte formule qui reformule le pipeline. Un manqué est y égal à x au carré avec y égal à moins un : discriminant négatif et solution_count zéro.
Où une API d'intersection droite–parabole apporte de la valeur
Les carnets d'ingénierie réduisent souvent la hauteur d'un projectile face à une droite cible, des approximations de flèche de câble ou de simples courbes coût–revenu à y égal à a x au carré plus b x plus c contre y égal à m x plus k ; appeler une petite API parse évite de tirer un système d'algèbre informatique complet pour un problème à cinq coefficients. Comme l'implémentation est parse pure de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Cas d'intégration
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items de systèmes non linéaires avec un oracle déterministe qui note les intersections vides comme solution_count zéro et n'invente jamais de racines réelles en trop.
Questions techniques
Le calculateur renvoie-t-il des intersections complexes ?
Non. Seuls les points réels sont renvoyés. Un discriminant négatif produit solution_count 0 et une liste points vide.
Combien coûte le calculateur d'intersection droite et parabole ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.