Inéquations valeur absolue
|2x − 3| < 5 est vraie pour −1 < x < 4, soit l'intervalle (−1, 4), alors que la version avec supérieur donne deux demi-droites extérieures. Saisissez vos nombres et la comparaison pour obtenir l'ensemble des solutions, cas vide et tous les réels compris. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 2
- B
- -3
- C
- 5
- Op
- <
- Inégalité
- |2x-3|<5
- Intervalle
- (-1, 4)
- Solution
- -1 < x < 4
- Cas
- -c < ax+b < c → interior open interval between the two roots
Les inéquations à valeur absolue de la forme module de ax plus b comparé à c apparaissent dans les cours d'algèbre, les examens d'entrée et les programmes techniques qui traitent les expressions linéaires sous un module avec une comparaison stricte ou non stricte. Les élèves ont besoin de l'ensemble solution en notation d'intervalles claire pour les formes inférieur-à comme pour les formes supérieur-à ; les scripts d'automatisation ont besoin d'un contrat déterministe qui n'invente jamais un intervalle lorsque le second membre rend l'énoncé vide ou toujours vrai. Ce solveur d'inéquations à valeur absolue accepte les coefficients a, b et c plus un opérateur de comparaison, applique la scission classique en deux cas des manuels, et renvoie la solution ordonnée comme chaîne d'intervalle, une ligne de solution lisible et des drapeaux pour ensembles vides, tous les réels, unions et singletons.
Ce que signifie |ax + b| ⊙ c et comment les deux cas se scindent
La valeur absolue d'un nombre réel est sa distance à zéro sur la droite numérique, donc |ax + b| comparé à c demande tout x tel que l'expression linéaire ax plus b se trouve à une distance de zéro qui satisfait la comparaison choisie. Cette interprétation en distance produit la scission classique en deux cas de tous les manuels.
Pour les formes inférieur-à, |u| inférieur à c avec c positif signifie que l'expression se trouve strictement entre moins c et c, ce qui produit un unique intervalle ouvert ou fermé entre les deux racines de |ax + b| égal à c. Pour les formes supérieur-à, |u| supérieur à c avec c positif signifie que l'expression se trouve hors de cette bande, ce qui produit l'union de deux demi-droites infinies.
Les racines critiques viennent de la résolution de ax plus b égal à c et de ax plus b égal à moins c ; ordonner ces racines absorbe le signe de a afin que vous n'inversiez pas les inégalités à la main lorsque a est négatif. Lorsque c est zéro, le strict inférieur est vide, le inférieur-ou-égal se réduit au point unique où ax plus b est zéro, le strict supérieur est la droite réelle privée de ce point, et le supérieur-ou-égal est toute la droite réelle.
Lorsque c est négatif, les formes inférieures sont vides car un module ne peut pas être plus petit qu'un nombre négatif, tandis que les formes supérieures valent pour tout x réel. Le coefficient a doit être non nul : si a était zéro, l'énoncé original ne déterminerait pas x, seulement une affirmation vraie ou fausse sur |b| et c, hors du périmètre de l'isolation de x.
Quand résoudre ces inéquations est utile
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un solveur d'inéquations à valeur absolue pour que les apprenants vérifient à la fois les intérieurs inférieur-à et les unions extérieures supérieur-à pour des a, b, c et op arbitraires sans erreurs d'inversion de signe lorsque a est négatif. Les générateurs de préparation aux examens ont besoin d'un oracle déterministe qui renvoie l'ensemble vide pour les formes inférieures impossibles avec c négatif et toute la droite réelle pour les formes supérieures toujours vraies, au lieu d'inventer des racines en silence.
Une validation échouée ne consomme pas le solde. Gardez les requêtes petites, figez les chaînes d'intervalle et les bornes arrondies dans les tests, et vous obtiendrez des ensembles solution reproductibles pour les devoirs, les plugins LMS et les edge workers sans déployer votre propre infrastructure de mathématique symbolique.
Cas d’usage
Contrôles en classe et devoirs
Laissez les élèves envoyer a, b, c et op pour |ax+b| ⊙ c et vérifier la notation d'intervalles pour les intérieurs inférieur-à comme pour les unions extérieures supérieur-à.
Notation automatique d'examens et LMS
Corrigez les items d'inéquations à valeur absolue avec un oracle déterministe qui renvoie ∅, un point, un intervalle fermé, une union de demi-droites ou tous les réels selon le cas.
Bandes de tolérance et carnets
Résolvez des contraintes absolues linéaires symétriques |ax+b| ≤ c dans des scripts d'étalonnage sans importer une bibliothèque complète d'algèbre computationnelle.
Questions fréquentes
Comment résoudre |ax + b| < c ou |ax + b| > c pour x ?
Envoyez des nombres finis a (non nul), b, c et op (<, <=, >, >=). Les formes inférieures renvoient l'intervalle intérieur entre les deux racines de |ax+b|=c lorsque c>0 ; les formes supérieures renvoient l'union extérieure de deux demi-droites.
Que se passe-t-il si c est négatif ?
Les formes inférieur-à produisent l'ensemble vide ∅ car la valeur absolue ne peut pas être inférieure à un nombre négatif. Les formes supérieur-à produisent tous les nombres réels. Les deux sont des succès valides, pas des erreurs.
Pourquoi a doit-il être non nul ?
Si a est zéro, |ax+b| ⊙ c n'est pas une inéquation en x — seulement une affirmation vraie ou fausse sur |b| et c. Le solveur exige a≠0 pour renvoyer un ensemble solution pour x.
Quelle notation d'intervalles le solveur renvoie-t-il ?
Intervalles ouverts ou fermés pour les formes inférieures, unions de deux demi-droites pour les formes supérieures lorsque c>0, un singleton lorsque |ax+b|≤0, ∅ si vide, et (-∞, ∞) lorsque tout x réel convient.
Quelle est la solution de |2x − 3| < 5 ?
Toutes les valeurs avec −1 < x < 4, soit (−1, 4). Les bornes sont exclues car la comparaison est stricte : en −1 et en 4, l'expression vaut exactement 5, et non moins.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-inequality \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
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"b": -3,
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-3,"c":5,"op":"<"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-inequality", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 2,
"b": -3,
"c": 5,
"op": "<"
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.absolute_value_inequality",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Lorsque a est zéro, l'énoncé n'est pas une inéquation en x et la tâche échoue avec invalid_input.
Ce que signifie |ax + b| ⊙ c et comment les deux cas se scindent
La capacité encode cette exigence en invalid_input afin que les clients distinguent les échecs durs de validation des ensembles solution vides mais valides.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et comportement d'erreur
Si a est zéro, le gestionnaire rejette la requête car l'inéquation ne déterminerait plus x. Exemple : a égal à deux, b égal à moins trois, c égal à cinq et op inférieur à produit l'inéquation |2x-3|<5 et l'intervalle ouvert de moins un à quatre, car l'intérieur entre les racines critiques est exactement cette bande. Associez la réponse à vos propres graphiques de droite numérique si vous avez besoin d'un croquis ; ce point de terminaison ne résout que l'ensemble et n'émet ni tracés ni prose en plusieurs étapes au-delà des champs cases et formula. Envoyez par POST un corps JSON avec quatre champs obligatoires : a, le coefficient non nul de x ; b, le terme constant dans le module ; c, le second membre fini ; et op, l'opérateur de comparaison parmi inférieur à, inférieur ou égal, supérieur à et supérieur ou égal. Chaque champ numérique peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; les valeurs non finies, les champs manquants et les chaînes vides échouent avec invalid_input en nommant le champ. Les alias d'opérateur lt, le, gt, ge et les symboles unicode inférieur-ou-égal et supérieur-ou-égal sont acceptés, de même que les alias de champ A, coeff, B, left_const, C, rhs, right, operator, comparison et sense. En cas de succès, le corps renvoie a, b, c et op ; une chaîne d'inéquation qui réécrit la forme module pour l'affichage ; interval en notation standard d'intervalles avec unions et le symbole d'ensemble vide ; solution comme description algébrique lisible ; des drapeaux booléens empty, all_reals, is_union et is_point ; left_bound et right_bound optionnels avec indicateurs d'inclusion lorsque des extrémités finies existent ; une courte chaîne cases décrivant la branche appliquée ; et un rappel formula de l'identité à deux cas.
Où une API d'inéquations à valeur absolue justifie son coût
Les carnets d'ingénierie et de sciences réduisent souvent les bandes de tolérance et les contraintes linéaires par morceaux à |ax+b| inférieur ou égal à c lors de la validation de bornes d'erreur symétriques ; appeler une petite API de parse évite de charger un système complet d'algèbre computationnelle pour un problème à quatre champs. Comme l'implémentation est un parse pur de tier A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié de $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
Combien coûte le solveur d'inéquations à valeur absolue ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.