Solveur d'inéquation composée

Une inéquation composée relie deux énoncés sur la même inconnue par and ou par or. Le cas and est l'intersection des deux ensembles de solutions : tout x accepté doit satisfaire les deux comparaisons linéaires à la fois. Le cas or est l'union : x peut satisfaire l'une ou l'autre, y compris les deux lorsqu'elles se recouvrent. Les élèves rencontrent les deux formes en algèbre un lorsqu'ils écrivent des paires telles que deux x plus trois inférieur à sept et x moins un supérieur à zéro, ou lorsqu'ils écrivent une scission telle que x inférieur à deux ou x supérieur à cinq. Ce solveur d'inéquation composée isole x dans chaque morceau linéaire ax plus b comparé à c, inverse la comparaison dès qu'un coefficient est négatif, puis intersecte ou unit les demi-droites obtenues et renvoie la réponse combinée en notation d'intervalle. Les intersections vides deviennent le symbole de l'ensemble vide ; les demi-droites or qui se recouvrent ou se touchent et couvrent tous les réels deviennent la droite entière ; les demi-droites or disjointes restent une union en deux morceaux.

Ce qu'est une inéquation composée et comment and versus or change l'ensemble

Une inéquation composée n'est ni une comparaison unique ni une réécriture de notation d'un x déjà isolé. Ce sont deux énoncés linéaires sur la même variable, reliés par un connecteur logique qui décide si les deux doivent tenir ou si l'un suffit.

Dans le langage de la classe, and désigne le recouvrement des deux ensembles de solutions : si le premier morceau dit que x est supérieur à moins deux et le second que x est au plus quatre, la réponse combinée est la fenêtre ouverte-fermée de moins deux à quatre.

Or désigne la couverture de l'un ou l'autre ensemble : si le premier morceau dit que x est inférieur à deux et le second que x est supérieur à cinq, la réponse combinée est l'union disjointe d'une demi-droite gauche et d'une demi-droite droite. Ces deux images ne se ressemblent en rien sur une droite numérique, d'où l'existence d'un solveur dédié d'inéquation composée plutôt que de demander à l'élève d'exécuter deux fois un solveur linéaire simple et de combiner les demi-droites à la main.

Chaque morceau a ici la vraie forme linéaire a x plus b comparé à c, si bien qu'une pente négative inverse encore l'inégalité lorsque l'on divise les deux membres — la même règle d'inversion enseignée en algèbre un. Après isolation, chaque morceau est une demi-droite. L'intersection de deux demi-droites peut donner un intervalle borné, une demi-droite plus étroite, un singleton lorsque les deux extrémités se ferment sur le même nombre, ou l'ensemble vide lorsque les demi-droites se manquent.

L'union de deux demi-droites peut donner une demi-droite plus large, la droite réelle entière lorsqu'elles se recouvrent ou se touchent par une extrémité incluse, ou une union en deux morceaux lorsqu'un trou demeure. La notation d'intervalle emballe cet ensemble : les parenthèses excluent une extrémité, les crochets l'incluent, les marqueurs d'infini ne prennent jamais de crochet, l'ensemble vide est le symbole du vide, et une paire disjointe s'écrit avec un signe d'union.

Tel est le contrat auquel cette page répond : résoudre, combiner et imprimer l'intervalle, non pas seulement orner une borne que l'appelant a déjà isolée.

Contrat d'entrée, règle d'inversion et combinaison des deux demi-droites

Le premier morceau utilise a1, b1, c1 et op1 pour a1 x plus b1 comparé à c1 ; le second utilise a2, b2, c2 et op2. Chaque coefficient doit être un nombre fini, et a1 et a2 doivent être non nuls car une pente nulle rendrait ce morceau indépendant de x et cesserait d'être une inéquation linéaire en l'inconnue.

Les opérateurs peuvent s'écrire comme les symboles inférieur, inférieur ou égal, supérieur ou supérieur ou égal, ou comme les codes courts lt, le, gt et ge, y compris les glyphes unicode inférieur-ou-égal et supérieur-ou-égal. Une précision facultative de zéro à quinze décimales arrondit coefficients et bornes avant l'algèbre des ensembles pour que les goldens restent stables d'un runtime à l'autre ; la valeur par défaut de dix correspond aux autres aides d'algèbre de tier A.

Après soustraction de la constante, les deux membres de chaque morceau sont divisés par la pente. Une pente positive conserve l'opérateur d'origine. Une pente négative l'inverse, et la réponse fixe flipped1 ou flipped2 afin qu'une couche pédagogique puisse souligner cette étape.

Le moteur intersecte alors les deux demi-droites lorsque join vaut and, ou les unit lorsque join vaut or. Les extrémités finies d'un résultat connexe unique figurent comme lower et upper avec des indicateurs d'inclusion ; ces clés sont omises — jamais mises à null — lorsque le résultat est vide, la droite entière ou une union en deux morceaux.

Où un solveur d'inéquation composée s'inscrit dans l'étude, l'enseignement et le code

Les élèves rencontrent les inéquations composées lorsqu'un problème rédigé exige une plage qui satisfait deux contraintes à la fois, par exemple un budget qui doit rester sous une limite et au-dessus d'une autre, et lorsqu'une condition scindée dit qu'une lecture est trop basse ou trop haute. Les enseignants peuvent générer des corrigés qui montrent les demi-droites isolées, l'inversion devant un coefficient négatif et l'intervalle final, sans se fier à des calculettes opaques qui oublient le connecteur ou impriment une notation scientifique.

La préparation aux concours a souvent besoin d'une vérification rapide hors ligne qu'une intersection vide l'est vraiment et qu'un or de demi-droites qui se recouvrent est la droite entière, et non une union négligée de deux intervalles qui couvrent en réalité tout.

Cette page répond à une intention de recherche distincte de celle d'un solveur d'une seule inéquation linéaire, qui isole une comparaison et s'arrête, et de celle d'un convertisseur vers la notation d'intervalle, qui part d'un x déjà isolé comparé à une borne ou d'une chaîne déjà écrite comme lower lié à x lié à upper. Ici le travail est l'étape résoudre-puis-combiner que ces outils laissent à l'humain. Sur cette page, le calcul s'exécute entièrement dans votre navigateur.