Solucionador de inequação composta

Uma inequação composta une duas afirmações sobre a mesma incógnita com and ou com or. O caso and é a interseção dos dois conjuntos-solução: todo x aceito precisa satisfazer as duas comparações lineares ao mesmo tempo. O caso or é a união: x pode satisfazer qualquer uma das duas, inclusive as duas quando elas se sobrepõem. Os estudantes encontram as duas formas em álgebra um quando escrevem pares como dois x mais três menor que sete e x menos um maior que zero, ou quando escrevem uma cisão como x menor que dois ou x maior que cinco. Este solucionador de inequação composta isola x em cada pedaço linear ax mais b comparado com c, inverte a comparação sempre que um coeficiente é negativo e, em seguida, intersecta ou une as semirretas resultantes e devolve a resposta combinada em notação de intervalo. Interseções vazias viram o símbolo do conjunto vazio; semirretas or que se sobrepõem ou se tocam e cobrem todos os reais viram a reta inteira; semirretas or disjuntas permanecem uma união de duas peças.

O que é uma inequação composta e como and versus or muda o conjunto

Uma inequação composta não é uma comparação única nem uma reescrita de notação de um x já isolado. São duas afirmações lineares sobre a mesma variável, unidas por um conector lógico que decide se as duas precisam valer ou se uma só basta. Na linguagem da sala de aula, and significa a sobreposição dos dois conjuntos-solução: se o primeiro pedaço diz que x é maior que menos dois e o segundo diz que x é no máximo quatro, a resposta combinada é a janela aberta-fechada de menos dois a quatro.

Or significa a cobertura de qualquer um dos conjuntos: se o primeiro pedaço diz que x é menor que dois e o segundo diz que x é maior que cinco, a resposta combinada é a união disjunta de uma semirreta esquerda e uma semirreta direita. Essas duas imagens não se parecem em nada numa reta numérica, e por isso existe um solucionador dedicado de inequação composta em vez de pedir ao estudante que rode duas vezes um solucionador linear simples e junte as semirretas à mão.

Cada pedaço aqui tem a forma linear genuína a x mais b comparado com c, de modo que uma inclinação negativa ainda inverte a inequação quando os dois lados são divididos — a mesma regra de inversão ensinada em álgebra um. Depois do isolamento, cada pedaço é uma semirreta. Intersectar duas semirretas pode produzir um intervalo limitado, uma semirreta mais estreita, um singleton quando as duas pontas fecham no mesmo número, ou o conjunto vazio quando as semirretas não se encontram.

Unir duas semirretas pode produzir uma semirreta mais larga, a reta real inteira quando elas se sobrepõem ou se tocam por um extremo incluído, ou uma união de duas peças quando resta um buraco. A notação de intervalo empacota esse conjunto: parênteses excluem um extremo, colchetes o incluem, marcadores de infinito nunca levam colchete, o conjunto vazio é o símbolo do vazio, e um par disjunto se escreve com um sinal de união.

Esse é o contrato que esta página responde: resolver, combinar e imprimir o intervalo, não apenas enfeitar uma cota que quem chama já tinha isolado.

Contrato de entrada, a regra de inversão e como as duas semirretas se combinam

O primeiro pedaço usa a1, b1, c1 e op1 para a1 x mais b1 comparado com c1; o segundo usa a2, b2, c2 e op2. Cada coeficiente precisa ser um número finito, e a1 e a2 precisam ser diferentes de zero porque uma inclinação nula faria aquele pedaço independente de x e deixaria de ser uma inequação linear na incógnita.

Os operadores podem ser escritos como os símbolos menor que, menor ou igual, maior que ou maior ou igual, ou como os códigos curtos lt, le, gt e ge, inclusive os glifos unicode de menor-ou-igual e maior-ou-igual. Uma precisão opcional de zero a quinze casas decimais arredonda coeficientes e cotas antes da álgebra de conjuntos para que os goldens fiquem estáveis entre runtimes; o padrão de dez coincide com o de outros auxiliares de álgebra de tier A.

Depois de subtrair a constante, os dois lados de cada pedaço são divididos pela inclinação. Uma inclinação positiva mantém o operador original. Uma inclinação negativa o inverte, e a resposta define flipped1 ou flipped2 para que uma camada didática possa destacar esse passo.

O mecanismo então intersecta as duas semirretas quando join é and, ou as une quando join é or. Extremos finitos de um resultado conexo único entram como lower e upper com flags de inclusão; essas chaves são omitidas — não vão para null — quando o resultado é vazio, a reta inteira ou uma união de duas peças.

Onde um solucionador de inequação composta entra no estudo, no ensino e no código

Os estudantes encontram inequações compostas quando um problema verbal pede um intervalo que satisfaz duas restrições ao mesmo tempo, como um orçamento que precisa ficar abaixo de um limite e acima de outro, e quando uma condição partida diz que uma leitura está baixa demais ou alta demais. Professores podem gerar gabaritos que mostram as semirretas isoladas, a inversão diante de um coeficiente negativo e o intervalo final, sem confiar em calculadoras opacas que esquecem o conector ou imprimem notação científica.

A prática de olimpíadas muitas vezes precisa de uma checagem rápida offline de que uma interseção vazia é de fato vazia e de que um or de semirretas sobrepostas é a reta inteira, e não uma união descuidada de dois intervalos que na verdade cobrem tudo.

Esta página atende a uma intenção de busca diferente da de um solucionador de uma só inequação linear, que isola uma comparação e para, e da de um conversor para notação de intervalo, que parte de um x já isolado comparado com uma cota ou de uma cadeia já escrita como lower relacionado a x relacionado a upper. Aqui o trabalho é o passo de resolver e depois combinar que essas ferramentas deixam para o humano. Nesta página o cálculo roda inteiramente no seu navegador.