Löser zusammengesetzter Ungleichungen

Eine zusammengesetzte Ungleichung verbindet zwei Aussagen über dieselbe Unbekannte mit and oder mit or. Der Fall and ist die Schnittmenge der beiden Lösungsmengen: jedes akzeptierte x muss beide linearen Vergleiche zugleich erfüllen. Der Fall or ist die Vereinigung: x darf einen der beiden Vergleiche erfüllen, einschließlich beider, wenn sie sich überlappen. Lernende begegnen beiden Formen in Algebra eins, wenn sie Paare wie zwei x plus drei kleiner als sieben und x minus eins größer als null schreiben, oder wenn sie eine Spaltung wie x kleiner als zwei oder x größer als fünf schreiben. Dieser Löser für zusammengesetzte Ungleichungen isoliert x in jedem linearen Stück ax plus b verglichen mit c, kehrt den Vergleich um, sobald ein Koeffizient negativ ist, schneidet oder vereinigt anschließend die entstehenden Strahlen und liefert die kombinierte Antwort in Intervallschreibweise. Leere Schnitte werden zum Symbol der leeren Menge; or-Strahlen, die sich überlappen oder berühren und alle Reellen überdecken, werden zur ganzen Geraden; disjunkte or-Strahlen bleiben eine Vereinigung aus zwei Stücken.

Was eine zusammengesetzte Ungleichung ist und wie and gegenüber or die Menge ändert

Eine zusammengesetzte Ungleichung ist kein einzelner Vergleich und keine Notationsumschrift eines bereits isolierten x. Es sind zwei lineare Aussagen über dieselbe Variable, verbunden durch einen logischen Konnektor, der entscheidet, ob beide gelten müssen oder ob eine genügt. In der Sprache des Unterrichts bedeutet and die Überlappung der beiden Lösungsmengen: sagt das erste Stück, x sei größer als minus zwei, und das zweite, x sei höchstens vier, so ist die kombinierte Antwort das offen-geschlossene Fenster von minus zwei bis vier.

Or bedeutet die Abdeckung einer der beiden Mengen: sagt das erste Stück, x sei kleiner als zwei, und das zweite, x sei größer als fünf, so ist die kombinierte Antwort die disjunkte Vereinigung eines linken und eines rechten Strahls. Diese beiden Bilder ähneln sich auf einer Zahlengeraden überhaupt nicht, weshalb es einen eigenen Löser für zusammengesetzte Ungleichungen gibt, statt Lernende zweimal einen einzelnen linearen Löser ausführen und die Strahlen von Hand kombinieren zu lassen.

Jedes Stück hat hier die echte lineare Form a x plus b verglichen mit c, sodass eine negative Steigung die Ungleichung beim Dividieren beider Seiten weiterhin umkehrt — dieselbe Umkehrregel wie in Algebra eins. Nach der Isolation ist jedes Stück eine Halbgerade. Der Schnitt zweier Halbgeraden kann ein beschränktes Intervall, einen engeren Strahl, ein Singleton, wenn beide Enden auf derselben Zahl schließen, oder die leere Menge ergeben, wenn die Strahlen einander verfehlen.

Die Vereinigung zweier Halbgeraden kann einen weiteren Strahl, die ganze reelle Gerade ergeben, wenn sie sich überlappen oder über einen eingeschlossenen Endpunkt berühren, oder eine Vereinigung aus zwei Stücken, wenn eine Lücke bleibt. Die Intervallschreibweise verpackt diese Menge: runde Klammern schließen einen Endpunkt aus, eckige schließen ihn ein, Unendlichkeitszeichen tragen niemals eine eckige Klammer, die leere Menge ist das Leermengen-Symbol, und ein disjunktes Paar wird mit einem Vereinigungszeichen geschrieben.

Das ist der Vertrag, den diese Seite erfüllt: lösen, kombinieren und das Intervall ausgeben, nicht bloß eine Schranke schmücken, die der Aufrufer bereits isoliert hat.

Eingabevertrag, Umkehrregel und wie die beiden Strahlen kombiniert werden

Jeder Koeffizient muss eine endliche Zahl sein, und a1 und a2 müssen von null verschieden sein, weil eine Steigung null jenes Stück unabhängig von x machte und keine lineare Ungleichung in der Unbekannten mehr wäre. Operatoren dürfen als die Symbole kleiner, kleiner oder gleich, größer oder größer oder gleich geschrieben werden, oder als die Kurzcodes lt, le, gt und ge, einschließlich der Unicode-Glyphen für kleiner-oder-gleich und größer-oder-gleich.

Eine optionale Genauigkeit von null bis fünfzehn Dezimalstellen rundet Koeffizienten und Schranken vor der Mengenalgebra, damit goldens über Laufzeiten hinweg stabil bleiben; der Standardwert zehn entspricht anderen Algebra-Hilfen der tier A. Nach dem Abziehen der Konstanten werden beide Seiten jedes Stücks durch die Steigung geteilt. Eine positive Steigung behält den ursprünglichen Operator.

Eine negative Steigung kehrt ihn um, und die Antwort setzt flipped1 oder flipped2, damit eine Unterrichtsschicht diesen Schritt hervorheben kann. Die Engine schneidet die beiden Strahlen, wenn join and ist, oder vereinigt sie, wenn join or ist. Endliche Endpunkte eines einzelnen zusammenhängenden Ergebnisses erscheinen als lower und upper mit Inklusionsflags; diese Schlüssel werden weggelassen — niemals auf null gesetzt —, wenn das Ergebnis leer, die ganze Gerade oder eine Vereinigung aus zwei Stücken ist.

Wo ein Löser für zusammengesetzte Ungleichungen in Lernen, Lehre und Code hingehört

Lernende begegnen zusammengesetzten Ungleichungen, wenn eine Textaufgabe einen Bereich verlangt, der zwei Bedingungen zugleich erfüllt, etwa ein Budget, das unter einer Grenze und über einer anderen bleiben muss, und wenn eine gespaltene Bedingung sagt, ein Messwert sei entweder zu niedrig oder zu hoch. Lehrkräfte können Lösungsschlüssel erzeugen, die die isolierten Strahlen, die Umkehr bei negativem Koeffizienten und das Endintervall zeigen, ohne undurchsichtigen Rechner-Apps zu vertrauen, die den Konnektor vergessen oder wissenschaftliche Notation drucken.

Wettbewerbstraining braucht oft eine schnelle Offline-Prüfung, dass ein leerer Schnitt wirklich leer ist und dass ein or überlappender Strahlen die ganze Gerade ist und nicht eine nachlässige Vereinigung zweier Intervalle, die in Wahrheit alles überdecken. Diese Seite bedient eine andere Suchabsicht als ein Löser einer einzelnen linearen Ungleichung, der einen Vergleich isoliert und aufhört, und als ein Umwandler in Intervallschreibweise, der von einem bereits isolierten x verglichen mit einer Schranke oder von einer bereits als lower bezogen auf x bezogen auf upper geschriebenen Kette ausgeht.

Hier ist die Arbeit der Schritt Lösen-dann-Kombinieren, den jene Werkzeuge dem Menschen überlassen. Auf dieser Seite läuft die Berechnung vollständig in Ihrem Browser.