Betragsungleichungen
|2x − 4| < 10 gilt für jedes x echt zwischen −3 und 7. Geben Sie a, b, c und das Vergleichszeichen ein und erhalten Sie das Intervall oder bei größer als die beiden äußeren Halbgeraden, mit offenen oder geschlossenen Grenzen. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- A
- 2
- B
- -4
- C
- 10
- Op
- <
- Ungleichung
- |2x + -4| < 10
- Lösungstyp
- interval
Sie senden die drei Koeffizienten a, b und c zusammen mit dem Vergleichsoperator und erhalten geordnete, gerundete Schranken, fertig zum Zeichnen auf einem Zahlenstrahl oder für den nächsten Schritt Ihrer Pipeline. Sie ersetzt die fehleranfällige Handalgebra, |ax+b| in zwei Fälle zu zerlegen, vor allem wenn a negativ ist und die Intervallgrenzen vertauscht werden müssen.
Wie man eine Betragsungleichung löst
Eine Ungleichung wie |ax + b| < c besagt, dass die Größe ax + b einen Abstand kleiner als c von null einhält; sie ist also äquivalent zur Doppelungleichung -c < ax + b < c. Das Subtrahieren von b und das Dividieren durch a isoliert x, aber eine Falle zerstört die meisten handschriftlichen Lösungen: Wenn a negativ ist, dreht die Division beide Vergleichszeichen um, und die beiden rohen Schranken landen in der falschen Reihenfolge.
Der Löser berechnet beide Schranken, (-c - b)/a und (c - b)/a, und ordnet sie anschließend explizit, sodass das Vorzeichen von a niemals in die Antwort durchschlägt. Für < und <= ist die Lösung das einzige Intervall zwischen diesen Schranken, mit offenen oder geschlossenen Enden je nach Operator. Für > und >= ist die Lösung das Komplement: jedes x unterhalb der unteren oder oberhalb der oberen Schranke, zurückgegeben als zwei Halbstrahlen.
Jede Schranke wird auf zehn Dezimalstellen gerundet, damit die Ergebnisse maschinenübergreifend Byte für Byte stabil und für Snapshot-Tests sicher sind.
Eingabevalidierung und wann Sie einen Fehler erhalten
Die erste ist a gleich null: Ohne x im Betrag ist das Problem keine Ungleichung in x mehr, und ein Intervall zurückzugeben wäre eine Lüge — je nach b und c erfüllt entweder jedes x oder kein x die Ungleichung, was eine andere Frage ist. Die zweite ist ein negatives c: Ein Betrag ist nie negativ, also wird der Vergleich mit einer negativen rechten Seite als fehlerhaftes Problem behandelt statt still beantwortet.
Außerdem muss jeder Koeffizient eine endliche Zahl sein; NaN, Unendlichkeiten und Zeichenketten werden Feld für Feld abgelehnt, mit einer Meldung, die den Übeltäter nennt. Anfragen, die die Validierung nicht bestehen, werden nicht berechnet.
Anwendungsfälle
Kontrolle von Hausaufgaben und Schulbüchern
Prüfen Sie eine von Hand gelöste |ax+b| < c-Aufgabe, einschließlich des kniffligen Falls, in dem a negativ ist und die Intervallgrenzen vertauscht werden müssen.
Berechnung von Toleranzbändern
Wandeln Sie eine Messtoleranz wie |3x - 12| <= 6 in exakte untere und obere Schranken für eine Validierungsregel oder eine Kontrollkarte um.
Zahlenstrahl-Darstellung in einer App
Nutzen Sie die strukturierten Intervalle direkt, um die Lösungsmenge zu zeichnen — mit bereits für Sie entschiedenen offenen und geschlossenen Endpunkten.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Derselbe Löser läuft auf dieser Seite auch kostenlos in Ihrem Browser, manuelle Kontrollen kosten also nichts.
Welche Operatoren werden unterstützt?
Alle vier Vergleiche: <, <=, > und >=, übergeben im Feld op. Wird er weggelassen, ist der Standardwert <.
Was passiert, wenn c negativ ist?
Die Anfrage wird als ungültige Eingabe abgelehnt. Ein Betrag ist nie negativ, das Problem hat also keine sinnvolle Intervallformulierung und wird als fehlerhaft behandelt statt still beantwortet.
Wie werden offene und geschlossene Endpunkte angezeigt?
Strikte Operatoren erzeugen offene Enden, nicht strikte geschlossene, und unbegrenzte Enden der Halbstrahlen werden aus dem Objekt weggelassen.
Sind die Ergebnisse exakt?
Ja, im Rahmen der Gleitkommaarithmetik. Die Schranken werden analytisch berechnet — ohne iterative Näherung — und auf zehn Dezimalstellen gerundet, sodass identische Eingaben stets identische Ausgaben liefern.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":-4,"c":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": -4,
"c": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": -4,
"c": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":-4,"c":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-4,"c":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 2,
"b": -4,
"c": 10
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.absolute_value_inequalities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API für Betragsungleichungen nimmt eine Ungleichung der Form |ax+b| < c — mit <, <=, > oder >= — entgegen und liefert ihre exakte Lösungsmenge über den reellen Zahlen: ein Intervall, eine Vereinigung zweier Halbstrahlen, einen einzelnen Punkt oder die leere Menge.
Die vier Operatoren und ihre Lösungsformen
Zwei entartete Formen sollte man kennen. Jeder Vergleichsoperator erzeugt eine charakteristische Form, und die Antwort benennt sie im Feld solution_type, damit Ihr Code sie nicht aus den Zahlen erraten muss. Ein Kleiner-als, strikt oder nicht, ergibt solution_type interval: ein einziges begrenztes Stück des Zahlenstrahls, offene Enden für < und geschlossene für <=. Die Größer-als-Operatoren ergeben solution_type union: zwei nach außen zeigende Halbstrahlen, etwa x < -1 oder x > 5. Wenn c null ist, kollabiert <= zum einzelnen Punkt x = -b/a, gemeldet als solution_type point, während < ins Leere kollabiert, gemeldet als solution_type empty mit einer leeren Intervallliste. Wenn c null ist und ein Größer-als-Operator vorliegt, ist jede reelle Zahl außer -b/a eine Lösung, gemeldet als solution_type all_except_point mit dem ausgeschlossenen Wert in excluded_point. Unbegrenzte Enden der Halbstrahlen werden aus den Intervallobjekten einfach weggelassen statt null zu sein, was das JSON sauber konsumierbar hält.
Eingabevalidierung und wann Sie einen Fehler erhalten
Zwei Eingaben werden mit einem typisierten invalid_input-Fehler abgelehnt statt mit einer irreführenden Antwort. Beim Prototyping können Sie exakt denselben Code kostenlos im Browser dieser Seite ausführen; nur die automatisierten API-Aufrufe kosten $0.002 pro Anfrage.
Technische Fragen
Warum wird a = 0 abgelehnt?
Weil mit a = 0 die Unbekannte x aus der Ungleichung verschwindet. Das Problem ist dann ein konstanter Vergleich ohne zurückzugebendes Intervall und wird daher als ungültige Eingabe gemeldet, statt eine irreführende Antwort zu erzeugen.