Betragsgleichung zwei Lösungen Rechner
|2x − 3| = 5 zerfällt in 2x − 3 = 5, was 4 ergibt, und 2x − 3 = −5, was −1 ergibt. Geben Sie Ihre drei Zahlen ein und sehen Sie beide Fallgleichungen samt geordneten Lösungen, bereit für Ihren Rechenweg. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 2
- B
- -3
- C
- 5
- Gleichung
- |2x-3|=5
- Anzahl der Lösungen
- 2
- Lösungen
- -1, 4
Wenn Sie eine Betragsgleichung der Form Betrag von ax plus b gleich c lösen, verlangen Lehrbücher zwei getrennte lineare Gleichungen: den positiven Fall ax plus b gleich c und den negativen Fall ax plus b gleich minus c. Diese Falltrennung ist die gesamte Methode, und dennoch vergisst man leicht ein Vorzeichen, den zweiten Fall oder erfindet eine Wurzel, wenn die rechte Seite negativ ist. Dieser Rechner für Betragsgleichungen mit zwei Lösungen nimmt die Koeffizienten a, b und c entgegen, führt beide Fälle parallel aus und liefert die geordneten reellen Lösungen zusammen mit den umgeschriebenen Fallgleichungen, damit Sie den Rechenweg zeigen können.
Warum eine Betragsgleichung zwei Fälle hat
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf dem Zahlenstrahl. Wenn |2x − 3| = 5 gelten soll, muss der Ausdruck 2x − 3 also genau fünf Einheiten von null entfernt liegen. Weil ein Abstand kein Vorzeichen hat, kann der Ausdruck rechts bei 5 oder links bei −5 landen. Daraus entstehen zwei einfache Gleichungen, der positive Fall 2x − 3 = 5 und der negative Fall 2x − 3 = −5. Sie lösen beide getrennt und erhalten 4 und −1, die in aufsteigender Reihenfolge angezeigt werden.
Wann Sie es nutzen und worauf Sie achten
Im Unterricht und bei der Prüfungsvorbereitung zeigt die Aufteilung den vollständigen Rechenweg, den Lehrkräfte sehen möchten. Typische Fehler sind ein verlorenes Vorzeichen und der vergessene zweite Fall. Ist die rechte Seite null, gibt es nur eine Lösung, weil beide Fälle zusammenfallen. Ist sie negativ, gibt es gar keine reelle Lösung, denn ein Abstand kann nie negativ sein. Außerdem muss vor x eine Zahl ungleich null stehen, sonst lässt sich die Gleichung nicht nach x auflösen.
Warum Betragsgleichungen zwei Kandidatenlösungen liefern
Der Betrag einer reellen Zahl ist ihr Abstand von null auf der Zahlengeraden. |ax + b| gleich c zu schreiben fragt daher nach jedem reellen x, für das der lineare Ausdruck ax plus b genau den Abstand c von null hat. Abstand ist vorzeichenlos, der Ausdruck kann also auf der positiven Seite bei plus c oder auf der negativen Seite bei minus c landen. Diese geometrische Lesart ist genau die Zwei-Fall-Trennung jedes Algebra-Kurses: entweder ax plus b gleich c (positiver Fall) oder ax plus b gleich minus c (negativer Fall).
Löst man jede lineare Gleichung, erhält man x gleich (c minus b) geteilt durch a aus dem positiven Fall und x gleich (minus c minus b) geteilt durch a aus dem negativen Fall, sofern a ungleich null ist. Ist c streng positiv, ergeben die beiden Fälle zwei verschiedene reelle Wurzeln, die dieser Rechner aufsteigend sortiert zusammen mit beiden Fallgleichungen zurückgibt, damit Lernende jeden Zweig prüfen können.
Ist c genau null, ist der Abstand null, die beiden Fälle fallen in die einzige Gleichung ax plus b gleich null zusammen, und es wird nur eine Wurzel geliefert: x gleich minus b über a. Ist c negativ, kann ein Abstand nicht negativ sein, also gibt es überhaupt keine reelle Lösung.
Der Koeffizient a muss ungleich null sein: wäre a null, wäre die ursprüngliche Aussage keine lineare Gleichung in x, sondern nur eine wahre oder falsche Behauptung über den Betrag von b im Vergleich zu c — außerhalb des Bereichs, zwei Kandidatenwurzeln von x zu lösen.
Wo ein Zwei-Lösungen-Betragsrechner sich lohnt
Unterricht und Tutorien-Plattformen nutzen einen Rechner für Betragsgleichungen mit zwei Lösungen, damit Lernende beide Fallwurzeln für beliebige a, b und c prüfen können, ohne ein Vorzeichen von Hand zu drehen oder den negativen Zweig zu vergessen. Examensgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das den Fall c kleiner null als falsch markiert, statt still ein leeres Array zurückzugeben, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte, und das immer positive und negative Fallgleichungen für Teilpunkt-Rubriken liefert. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie gerundete Lösungen und Fallfelder in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Doppelwurzeln für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker ohne eigene symbolische Mathematik-Infrastruktur.
Anwendungsfälle
Unterrichts-Checks in zwei Fällen
Lassen Sie Lernende a, b und c für |ax+b|=c senden und beide geordneten Wurzeln plus die Gleichungen des positiven und negativen Falls gegen Lehrbuchmethoden prüfen.
Doppelwurzel-Bewertung in Prüfung und LMS
Bewerten Sie Betragsaufgaben, die beide Lösungen verlangen, mit einem deterministischen Orakel, das negatives c als keine Lösung ablehnt und bei c gleich null nie eine zweite Wurzel erfindet.
Notebooks und symmetrische Nebenbedingungen
Lösen Sie symmetrische lineare Betragsnebenbedingungen |ax+b|=c in Kalibrier-Skripten und lesen Sie beide Fallwurzeln, ohne eine volle Computeralgebra-Bibliothek zu importieren.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn c negativ ist?
Ein Betrag kann keiner negativen Zahl gleichen, die Gleichung hat also keine reelle Lösung und wird nicht berechnet.
Warum muss a ungleich null sein?
Ist a null, ist |ax+b|=c keine Gleichung in x — nur eine wahre oder falsche Aussage über |b| und c. Der Löser verlangt a≠0, um Wurzeln für x zu liefern.
Wie viele Lösungen liefert er?
Negatives c wird als keine Lösung abgelehnt statt als leere Erfolgsliste. Objekte für positiven und negativen Fall sind immer vorhanden.
Welche beiden Fälle hat |2x − 3| = 5?
Der positive Fall ist 2x − 3 = 5 und ergibt 4. Der negative Fall ist 2x − 3 = −5 und ergibt −1. Jede Lösung steht neben der Gleichung, aus der sie stammt.
Was geschieht, wenn die rechte Seite null ist?
Dann fallen beide Fälle zu einer einzigen Gleichung zusammen, in der der Ausdruck im Betrag null wird. Sie erhalten genau eine Lösung statt zweier.
Welche Fehler vermeiden Sie, wenn Sie beide Fälle aufschreiben?
Sie verlieren kein Vorzeichen, vergessen den zweiten Fall nicht und erfinden keine Lösung, wenn die rechte Seite negativ ist. Jeder Fall neben seiner Lösung macht die Kontrolle leicht.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-two-solutions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":-3,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-two-solutions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": -3,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-two-solutions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": -3,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-two-solutions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":-3,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-3,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-two-solutions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 2,
"b": -3,
"c": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.absolute_value_two_solutions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Ist c streng positiv, erhalten Sie zwei verschiedene Wurzeln; ist c null, fallen die Fälle zu einer Wurzel zusammen; ist c negativ, meldet die Fähigkeit keine Lösung über invalid_input statt einer irreführend leeren Erfolgsliste.
Warum Betragsgleichungen zwei Kandidatenlösungen liefern
Die Fähigkeit kodiert diese Unmöglichkeit als invalid_input-Fehler statt als Erfolgspayload mit null Lösungen, passend zur Klassensprache, dass die Gleichung keine Lösung hat, und zu API-Clients, die leeren Erfolg und harten Fehler für Abrechnung und Wiederholungen unterschiedlich behandeln.
Eingabevertrag, Zwei-Fall-Antwortform und Fehlerverhalten
Beispiel: a gleich zwei, b gleich minus drei, c gleich fünf ergibt |2x-3|=5, positiven Fall 2x-3 gleich fünf mit Wurzel vier, negativen Fall 2x-3 gleich minus fünf mit Wurzel minus eins, und die geordnete Lösungsliste minus eins dann vier. Kombinieren Sie die Antwort mit eigenem Plot-Code, falls Sie eine Skizze des V-förmigen Graphen y gleich |ax+b| gegen die Horizontale y gleich c brauchen; dieser Endpunkt löst nur die beiden Fallwurzeln und liefert weder Plots noch mehrabsätzige Schrittprosa jenseits der Formel- und Fallfelder. Senden Sie per POST einen JSON-Body mit drei erforderlichen endlichen Zahlen: a, dem von null verschiedenen Koeffizienten von x im Betrag; b, dem konstanten Term im Betrag; und c, der nichtnegativen rechten Seite, der der Betrag gleichen muss. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette ankommen; nicht endliche Werte, fehlende Felder und leere Zeichenketten scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes. Bei Erfolg spiegelt der Body a, b und c; eine Gleichung-Zeichenkette, die die Betragsform für die Anzeige umschreibt; Objekte positive_case und negative_case mit jeweils der linearen Gleichung und dem gelösten x; solution_count von eins oder zwei; solutions als aufsteigendes Array von Zahlen, gerundet auf zwölf Dezimalstellen für stabile Goldens über Runtimes; und eine Formel-Zeichenkette, die die Zwei-Fall-Identität festhält.
Wo ein Zwei-Lösungen-Betragsrechner sich lohnt
Ingenieur- und Wissenschafts-Notebooks reduzieren oft stückweise lineare Nebenbedingungen oder symmetrische Toleranzbänder auf |ax+b|=c bei der Sensorkalibrierung; ein kleiner Parse-API-Aufruf, der beide Fallwurzeln liefert, erspart ein volles Computeralgebra-System für ein Drei-Koeffizienten-Problem.
Technische Fragen
Wie löst der Zwei-Lösungen-Rechner |ax + b| = c?
Er trennt den positiven Fall ax+b=c und den negativen Fall ax+b=-c, löst jeden nach x und liefert beide Wurzeln aufsteigend sortiert, wenn c>0 (oder die eine Wurzel, wenn c=0).
Was kostet der Zwei-Lösungen-Betragsrechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.