Verschachtelte Betragsgleichung
||2x - 1| + 3| = 5 hat zwei Lösungen, -1/2 und 3/2: Der Löser löst zuerst den äußeren Betrag auf, behält nur den Innenwert 2, weil -8 unmöglich ist, und löst dann die innere Gleichung. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 2
- B
- -1
- C
- 3
- D
- 5
- Gleichung
- ||2x-1|+3|=5
- Innere Zielwerte
- 2
- Anzahl der Lösungen
- 2
- Lösungen
- -0,5, 1,5
Verschachtelte Betragsgleichungen setzen einen Betrag in einen anderen, sodass die übliche Zweiteilung der Fälle nicht genügt: Sie müssen zuerst den äußeren Absolutbetrag auflösen, nur nichtnegative Kandidaten für den inneren Ausdruck behalten und erst dann die einfache Betragsgleichung nach x lösen. Lernende begegnen Formen wie dem Betrag des Betrags von ax plus b plus c gleich d in der Intermediate Algebra, in der Wettbewerbsvorbereitung und in stückweise linearen Modellen. Dieser Löser für verschachtelte Betragsgleichungen nimmt die Koeffizienten a, b, c und d entgegen, wendet diesen Fallbaum von innen nach außen deterministisch an und liefert jede gültige reelle Wurzel aufsteigend sortiert zusammen mit den inneren Zwischenzielen. Negative äußere rechte Seiten und ein Nullkoeffizient von x werden als ungültige Eingabe abgelehnt statt als stille leere Erfolge.
Warum verschachtelte Beträge einen Fallbaum von innen nach außen brauchen
Eine einfache Betragsgleichung |ax + b| = k spaltet sich in zwei lineare Gleichungen, wenn k positiv ist, in eine Gleichung, wenn k null ist, und in keine reelle Lösung, wenn k negativ ist. Ein zweiter verschachtelter Betrag ändert die Geometrie: Der äußere Absolutbetrag beschränkt eine nichtnegative Größe u gleich dem inneren Betrag, nicht x selbst.
Die verschachtelte Form ||ax + b| + c| = d beginnt daher mit u = |ax + b| unter der harten Nebenbedingung u ≥ 0 und löst danach die äußere Gleichung |u + c| = d nach u. Dieser äußere Schritt liefert die beiden Kandidaten u gleich d minus c und u gleich minus d minus c; jeder Kandidat, der u ≥ 0 verfehlt, wird sofort verworfen, weil ein Absolutbetrag nicht negativ sein kann. Überlebende Ziele werden zu den rechten Seiten gewöhnlicher Betragsgleichungen |ax + b| = u.
Für jedes gültige u erzeugt der Löser eine Wurzel, wenn u null ist, und zwei Wurzeln, wenn u positiv ist; anschließend werden alle Wurzeln zusammengeführt, dedupliziert und aufsteigend sortiert. Ist c negativ, codiert dieselbe Algebra Lehrbücher, die ||ax + b| − k| = d schreiben, weil die Addition einer negativen Konstanten die Subtraktion von k ist. Ist d null, kollabieren die beiden äußeren Kandidaten zur einzigen Bedingung u gleich minus c, die nur zulässig ist, wenn dieser Wert nichtnegativ ist.
Diese Disziplin von innen nach außen ist genau das, was Lehrkräfte auf Papier bewerten und was Produktions-APIs für reproduzierbare Bewertung und Notebook-Skripte brauchen.
Anwendungsfälle
Mehrfall-Kontrollen im Unterricht
Lassen Sie Lernende a, b, c und d für ||ax+b|+c|=d einreichen und jede geordnete Wurzel gegen den Fallbaum von innen nach außen aus der Intermediate Algebra prüfen.
Auto-Bewertung in Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Items mit verschachteltem Betrag mit einem deterministischen Orakel, das negatives d ablehnt, leere Lösungen meldet, wenn kein nichtnegatives inneres Ziel überlebt, und nie extra Wurzeln erfindet.
Notebooks und stückweise Nebenbedingungen
Lösen Sie verschachtelte Betragsnebenbedingungen in Kalibrier- oder Toleranzskripten, ohne eine volle Computer-Algebra-Bibliothek für ein Vier-Koeffizienten-Problem zu importieren.
Häufige Fragen
Wie löse ich ||ax + b| + c| = d nach x?
Senden Sie endliche Zahlen a (ungleich null), b, c und d (nichtnegativ).
Was geschieht, wenn d negativ ist?
Ein äußerer Absolutbetrag kann keiner negativen Zahl gleichen, daher hat die Gleichung keine reelle Lösung und wird nicht berechnet.
Warum muss a ungleich null sein?
Ist a null, ist ||ax+b|+c|=d keine Gleichung in x—nur eine wahre oder falsche Aussage über ||b|+c| und d. Der Löser verlangt a≠0, um Wurzeln für x zu liefern.
Wie löst man eine verschachtelte Betragsgleichung?
Von außen nach innen: Zuerst wird der äußere Betrag aufgelöst, dann bleiben nur Innenwerte, die nicht negativ sind. Bei ||2x - 1| + 3| = 5 bleibt der Wert 2, und |2x - 1| gleich 2 liefert -1/2 und 3/2.
Warum darf a nicht null sein?
Weil x sonst aus der Gleichung verschwindet. Ohne x im inneren Betrag gibt es nichts mehr zu lösen, und die Gleichung wäre entweder immer oder nie erfüllt.
Kann eine verschachtelte Betragsgleichung gar keine Lösung haben?
Ja. Sind beide Werte, die der äußere Betrag zulässt, negativ, kann der innere Betrag sie nie erreichen. Die Gleichung hat dann keine reelle Lösung, und die Lösungsliste bleibt leer.
Wie viele Lösungen sind möglich?
Jeder gültige Innenwert liefert eine Lösung, wenn er null ist, und zwei, wenn er positiv ist. Bei zwei gültigen Werten werden alle Lösungen zusammengeführt, doppelte entfernt und aufsteigend sortiert.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":-1,"c":3,"d":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": -1,
"c": 3,
"d": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": -1,
"c": 3,
"d": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":-1,"c":3,"d":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-1,"c":3,"d":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 2,
"b": -1,
"c": 3,
"d": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_absolute_value_equation_nested",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dasselbe reine Modul speist den kostenlosen Browserpfad und die vorausbezahlte API, sodass Klassenkontrollen und Automatisierung nie darüber streiten, welche Wurzeln beide Betragsschichten überstehen.
Warum verschachtelte Beträge einen Fallbaum von innen nach außen brauchen
Ist d negativ, müsste die äußere Distanz negativ sein, was unmöglich ist; die Anfrage schlägt daher mit invalid_input fehl statt Wurzeln zu erfinden.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Fehlerverhalten
Beispiel: a gleich zwei, b gleich minus eins, c gleich drei, d gleich fünf ergibt ||2x-1|+3|=5. Das äußere Schälen behält u gleich zwei (aus fünf minus drei) und verwirft den negativen Kandidaten minus acht; danach liefert |2x-1|=2 die Wurzeln x gleich minus ein Halb und x gleich drei Halbe. Kombinieren Sie die Antwort mit eigener Grafik, wenn Sie die V-förmigen Zusammensetzungen brauchen; dieser Endpunkt löst nur nach x. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit vier erforderlichen endlichen Zahlen: a, dem von null verschiedenen Koeffizienten von x im inneren Betrag; b, dem konstanten Term in diesem Betrag; c, der Konstante, die dem inneren Absolutbetrag vor dem äußeren Betrag addiert wird; und d, der nichtnegativen äußeren rechten Seite. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder numerische Zeichenkette ankommen; fehlende Felder, leere Zeichenketten, nicht endliche Werte, a gleich null und d kleiner als null scheitern mit invalid_input unter Nennung des Problems, und diese Fehlschläge werden nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt der Körper a, b, c und d wider; eine Gleichungstextzeile, die die verschachtelte Betragsform zur Anzeige umschreibt; inner_targets als die geordneten nichtnegativen u-Werte nach dem äußeren Schälen; solution_count; solutions als aufsteigendes Array reeller Wurzeln, gerundet auf zwölf Dezimalstellen für stabile Goldens über Laufzeiten hinweg; und eine Formelzeichenkette, die die zweischichtige Identität erneut formuliert. Scheitert jeder äußere Kandidat am Nichtnegativitätsfilter, ist die Gleichung wohlgeformt, hat aber keine reelle Wurzel: solution_count ist null und solutions ist ein leeres Array statt eines Fehlers, damit Auto-Bewertung unmögliche Geometrie von schlechten Parametern trennt.
Wo eine API für verschachtelte Beträge sich lohnt
Klassenräume und Tutoring-Plattformen nutzen einen Löser für verschachtelte Betragsgleichungen, damit Lernende Mehrfall-Hausaufgaben prüfen, ohne beim äußeren Betrag zuerst ein Vorzeichen zu verlieren. Prüfungsgeneratoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel, das negatives d als unlösbar ablehnt und jede überlebende Wurzel liefert, wenn beide Schichten Lösungen zulassen, ohne Extras aus verworfenen negativen Zielen zu erfinden. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Engineering-Notebooks reduzieren stückweise lineare Toleranzbänder und gefaltete Distanzbedingungen zu verschachtelten Betragsgleichungen beim Kalibrieren von Sensoren oder Validieren symmetrischer Fehlermodelle; ein winziger Parse-API-Aufruf erspart ein volles Computer-Algebra-System für vier Koeffizienten. Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie gerundete Lösungen und inner_targets in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Wurzeln für Hausaufgaben, Wettbewerbspakete und Edge-Worker ohne eigene symbolische Mathematik-Infrastruktur.
Technische Fragen
Kann der Löser null Lösungen ohne Fehler liefern?
Ja. Wenn d≥0 und a≠0, aber jeder äußere Kandidat für u negativ ist, ist solution_count 0 und solutions []. Das ist eine wohlgeformte Gleichung ohne reelle Wurzel, keine ungültige Eingabe.
Was kostet der Löser für verschachtelte Betragsgleichungen?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.