Kubikgleichung x³=k
x³ = 8 hat drei Lösungen, nicht nur eine: die reelle Lösung 2 und das komplexe Paar -1 ± i√3. Geben Sie ein reelles k ein und erhalten Sie alle drei Lösungen von x³ = k mit Real- und Imaginärteil. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- K
- 8
- Gleichung
- x^3=8
- Reelle Wurzel
- 2
Die reine Kubikgleichung x hoch drei gleich k verlangt jede komplexe Zahl, deren dritte Potenz die reelle Konstante k ist. Jeder Algebra-Lernende begegnet zuerst der reellen Kubikwurzel, doch der Fundamentalsatz der Algebra garantiert zwei weitere Wurzeln abseits der reellen Achse als konjugiertes Paar. Dieser Löser nimmt eine einzelne endliche reelle Zahl k entgegen, berechnet die eindeutige reelle Kubikwurzel mit einem vorzeichenrichtigen Kubikwurzel-Primitiv, multipliziert sie mit den drei Einheitswurzeln dritter Ordnung und liefert die reelle Wurzel zusammen mit den beiden komplexen Wurzeln in Rechteckform (Real- und Imaginärteil). Nutzen Sie ihn, wann immer Sie alle drei Lösungen von x³ = k brauchen, ohne ein vollständiges Computer-Algebra-System aufzusetzen.
Was x³ = k bedeutet und wie die drei Kubikwurzeln entstehen
Über den reellen Zahlen ist die Abbildung, die x auf x hoch drei sendet, bijektiv, sodass jedes reelle k genau eine reelle Kubikwurzel besitzt. Über den komplexen Zahlen ist die Gleichung x hoch drei gleich k ein monisches Kubikpolynom und hat daher drei Wurzeln mit Vielfachheit.
Diese drei Wurzeln sind die Produkte der reellen Kubikwurzel r gleich der Kubikwurzel von k mit den drei Einheitswurzeln dritter Ordnung: eins, omega und omega zum Quadrat, wobei omega minus ein Halb plus i mal der Quadratwurzel aus drei über zwei ist und omega zum Quadrat das konjugierte ist.
Ist k positiv, ist die reelle Wurzel positiv und das komplexe Paar hat negativen Realteil; ist k negativ, ist die reelle Wurzel negativ und das komplexe Paar hat positiven Realteil; ist k null, fallen alle drei Wurzeln im Ursprung als dreifache reelle Wurzel zusammen. Die Rechteckdarstellung (Real- und Imaginärteil als getrennte Zahlen) ist das, was die meisten numerischen APIs, Tabellenkalkulationen und Plotbibliotheken erwarten; polare Betrags- und Argumentform sind nicht nötig, um zu prüfen, dass jede Wurzel wieder auf k kubiert.
Weil die Konstruktion nur die reelle Kubikwurzel und feste algebraische Faktoren nutzt, ist das Ergebnis vollständig deterministisch und frei von Verzweigungsschnitten, die Hauptzweige komplexer Kubikwurzeln auf negativen Reellen belasten.
Wo reine Kubikgleichungen weiterhelfen
Klassenräume und Tutorenplattformen nutzen einen Löser der Gleichung x hoch drei gleich k, damit Lernende sehen, dass x hoch drei gleich acht eine reelle und zwei komplexe Antworten hat, nicht nur die reelle Kubikwurzel eines Taschenrechners. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das geordnete Rechteckpaare liefert statt schwebender Polarwinkel, die zwischen Engines um zwei Pi abweichen. Engineering- und Signalverarbeitungs-Notebooks reduzieren oft Kubikwurzel-Zweige charakteristischer Gleichungen oder Cardano-Zwischenschritte auf die reine Form x hoch drei gleich k und brauchen beide komplexen Wurzeln, ohne eine volle Computer-Algebra-Bibliothek zu importieren.
Fehlgeschlagene Validierung wird nicht abgerechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten Rechteckkomponenten in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Kubikwurzeln für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Mathematik-Infrastruktur aufzubauen.
Anwendungsfälle
Klassenraum- und Hausaufgabenprüfungen
Lassen Sie Lernende k für x³ = k einreichen und die reelle Kubikwurzel plus beide komplexen Rechteckwurzeln gegen die Einheitswurzel-Methoden des Lehrbuchs prüfen.
Notebooks und Cardano-Zwischenschritte
Lösen Sie reine x³ = k-Zweige in Kubiklösern oder Signalmodellen, ohne ein vollständiges Computer-Algebra-System zu importieren.
Häufige Fragen
Liefert der Löser komplexe Wurzeln?
Ja. Für reelles k ungleich null gibt es immer eine reelle und zwei konjugiert komplexe Wurzeln. Beide werden mit den Feldern re und im zurückgegeben.
Was, wenn k negativ ist?
Negatives k ist erlaubt. Die reelle Kubikwurzel ist negativ (Math.cbrt erhält das Vorzeichen), und das komplexe Paar hat positiven Realteil −r/2 mit r < 0.
Warum hat x³ = k drei Lösungen statt einer?
Über den komplexen Zahlen hat jede kubische Gleichung drei Lösungen. Es sind die reelle Kubikwurzel von k mal die drei dritten Einheitswurzeln, was ein konjugiert komplexes Paar hinzufügt.
Was passiert, wenn k null ist?
Alle drei Lösungen fallen auf 0 zusammen, null ist also eine dreifache reelle Lösung. Ein komplexes Paar gibt es dann nicht, weil jedes Produkt mit der reellen Lösung 0 ebenfalls 0 ist.
Wie prüfe ich die komplexen Lösungen?
Nehmen Sie jede Lösung hoch drei und vergleichen Sie mit k. Für x³ = 8 ergeben -1 + i√3 und -1 - i√3 hoch drei jeweils 8, genau wie die reelle Lösung 2.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"k": 8
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_cube_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Ungültiges oder fehlendes k scheitert mit invalid_input und wird nicht abgerechnet.
Was x³ = k bedeutet und wie die drei Kubikwurzeln entstehen
Das Ausmultiplizieren liefert die Rechteckformen, die dieser Endpoint zurückgibt: die reelle Wurzel r mit Imaginärteil null und das konjugierte Paar minus r über zwei plus oder minus i mal r mal der Quadratwurzel aus drei über zwei.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Beispiel: k gleich acht liefert die reelle Wurzel zwei und das komplexe Paar minus eins plus oder minus i mal der Quadratwurzel aus drei, weil zwei hoch drei acht ist und jede komplexe Wurzel ebenfalls zu acht kubiert. Beispiel: k gleich minus acht liefert die reelle Wurzel minus zwei und das komplexe Paar eins plus oder minus i mal der Quadratwurzel aus drei. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit einem einzigen Pflichtfeld namens k als endliche Zahl, der rechten Seite von x hoch drei gleich k. Der Wert darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette ankommen; fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN und Infinity scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes, und diese Fehler werden nicht abgerechnet. Bei Erfolg gibt der Körper das bereinigte k zurück, eine Gleichungstextzeichenkette der Form x^3 gleich k zur Anzeige, real_root als die eindeutige reelle Kubikwurzel, gerundet auf zwölf signifikante Dezimalstellen für stabile Goldens über Laufzeiten, complex_roots als Array aus zwei Objekten mit den Feldern re und im, geordnet so dass das Mitglied mit nichtnegativem Imaginärteil zuerst kommt, roots als die drei Rechteckzahlen mit der reellen Wurzel zuerst und dann dem komplexen Paar, sowie eine Formelzeichenkette, die die Identität der Einheitswurzeln dritter Ordnung wiedergibt. Kombinieren Sie die numerischen Wurzeln mit Ihrem eigenen Verifikationsschritt, der jede komplexe Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert, wenn Sie eine unabhängige Prüfung brauchen; dieser Endpoint löst und formatiert, er liefert keine Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits des Formelfeldes und plottet die Wurzeln nicht in der komplexen Ebene.
Wo eine API für reine Kubikgleichungen ihren Nutzen zeigt
Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis von $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Automatische Bewertung in Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Aufgaben zur reinen Kubikgleichung mit einem deterministischen Orakel, das geordnete re/im-Paare liefert und nicht endliches k als invalid_input ablehnt.
Technische Fragen
Wie löse ich x³ = k für alle drei Wurzeln?
Senden Sie eine endliche Zahl k. Die API liefert die reelle Kubikwurzel r = ∛k und die beiden komplexen Wurzeln r·ω und r·ω² in Rechteckform, wobei ω = −1/2 ± i√3/2.
Welche Eingabe wird abgelehnt?
Fehlendes k, leere Zeichenketten, nichtnumerische Werte, NaN und Infinity scheitern mit invalid_input und werden nicht abgerechnet.
Was kostet der Löser der reinen Kubikgleichung?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht abgerechnet.