Polarform einer komplexen Zahl

Eine komplexe Zahl, rechteckig als a plus bi geschrieben, ist ein Paar reeller Koeffizienten, doch dieselbe Zahl lässt sich als Länge und gerichteter Winkel neu fassen. Diese Umschrift ist die Polarform einer komplexen Zahl: die Magnitude ist der Betrag, der euklidische Abstand vom Ursprung in der Argand-Ebene, und der Winkel ist das Hauptargument im Bogenmaß, gemessen von der positiven reellen Halbachse. Multiplikation, Division, ganzzahlige Potenzen und Wurzeln schrumpfen zu Produkten und Summen dieser beiden Skalare; deshalb verlangt jeder Algebra-Kurs und jedes Zeigerheft irgendwann die Polarform von a plus bi. Dieser Polarform-Rechner nimmt die zwei endlichen Real- und Imaginärteile eines einzigen rechteckigen Operanden entgegen, berechnet die Magnitude mit einer numerisch stabilen Hypotenuse und gewinnt das Argument mit einem zweistelligen Arkustangens, damit der Winkel im richtigen Quadranten landet.

Was die Polarform festhält: Betrag, Argument und cis-Identität

Eine komplexe Zahl in Rechteckform ist das Paar a plus bi, wobei a der Realteil, b der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit mit i zum Quadrat gleich minus eins ist. Dieses Paar als Punkt in der Argand-Ebene zu zeichnen macht die polare Umschrift offensichtlich: die Magnitude r ist die Länge der Strecke vom Ursprung zum Punkt, und der Winkel theta ist die gerichtete Drehung von der positiven reellen Halbachse zu dieser Strecke.

Sind r und theta bekannt, schreibt die Euler-Identität dieselbe Zahl als r mal e hoch i theta, und die trigonometrische Form schreibt sie als r mal die Größe Kosinus theta plus i Sinus theta, oft abgekürzt r cis theta. Ingenieurblätter drucken außerdem den kompakten Zeiger r Winkel theta. All diese Zeichenketten beschreiben eine einzige Zahl; nur die Notation wechselt.

Ein verschwindender Real- oder Imaginärteil ist erlaubt: eine rein reelle Zahl hat Argument null oder plus oder minus pi, eine rein imaginäre plus oder minus pi halbe. Der Ursprung null plus null i ist ein endliches Paar, daher liefert dieser Rechner Magnitude null und Winkel null, statt einen undefinierten-Argument-Fehler zu erfinden, den der Vertrag nicht verspricht.

Das Feld formula stellt stets die Identität Magnitude gleich hypot von real und imag, Argument gleich atan2 von imag und real erneut dar, damit ein Tutorial die Regel neben der Zahlenantwort zeigen kann, ohne eine zweite Inhaltstabelle zu pflegen.

Eingabevertrag, Antwortform und Prüfung

Bei Erfolg gibt der Körper die zwei gerundeten Eingabekoeffizienten zurück, liefert magnitude und angle als auf zwölf Dezimalstellen gerundete Zahlen für stabile Goldens über Laufzeiten hinweg und stellt drei Anzeigezeichenketten bereit: rectangular für die ursprüngliche Form a plus bi, polar für den kompakten Zeiger r Winkel theta und cis für die trigonometrische Entwicklung r mal Kosinus plus i Sinus. Beispiel: real drei und imag vier ergeben magnitude fünf und angle atan2 von vier und drei, etwa null Komma neun zwei sieben Radiant, mit der Polar-Zeichenkette fünf Winkel dasselbe Argument.

Der Winkel steht stets im Bogenmaß, niemals in Grad, weil die Polarform einer komplexen Zahl in der Analysis und in den meisten Programmbibliotheken auf der reellen Geraden modulo zwei pi definiert ist, nicht auf einem Kreis von dreihundertsechzig Grad. Verbinden Sie die Antwort mit Ihrer eigenen Zeichnung der Argand-Ebene, falls Sie ein Diagramm brauchen; diese Fähigkeit wandelt nur einen rechteckigen Operanden in Polarform um und multipliziert, dividiert oder potenziert das Ergebnis nicht.

Wo die Polarform Rechenarbeit spart

Klassenzimmer und Tutorien nutzen einen Polarform-Rechner für komplexe Zahlen, damit Lernende Betrag und Hauptargument prüfen, ohne den Quadranten zu kippen, wenn a negativ ist. Prüfungsgeneratoren und LMS-Erweiterungen brauchen ein deterministisches Orakel, das für dieselben zwei Koeffizienten stets denselben gerundeten Betrag und Winkel liefert, was reines Parse der Stufe A ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz garantiert. Signalverarbeitungs- und Regelskripte speichern oft a-plus-bi-Abtastwerte und brauchen den Betrag für die Energie und das Argument zum späteren Abwickeln der Phase.

Eine gescheiterte Prüfung wird nicht abgerechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie magnitude und angle in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Polarform für Hausaufgaben, Bewertung und Edge-Worker, ohne eine eigene symbolische Mathematikinfrastruktur aufzubauen.