Forma polar de un número complejo
3 + 4i tiene módulo 5 y un ángulo de unos 0,927 radianes, así que su forma polar es 5∠0,927. Escriba la parte real y la imaginaria y obtenga el módulo, el ángulo en el cuadrante correcto y las formas cis y fasorial. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- 3
- Parte imaginaria
- 4
- Magnitud
- 5
- Ángulo
- 0,927295218
- Forma rectangular
- 3+4i
- Polar
- 5∠0.927295218002
Un número complejo escrito en forma rectangular como a más bi es un par de coeficientes reales, pero ese mismo número puede reescribirse como una longitud y un ángulo dirigido. Esa reescritura es la forma polar de un número complejo: la magnitud es el módulo, la distancia euclídea al origen en el plano de Argand, y el ángulo es el argumento principal en radianes, medido desde el semieje real positivo. La multiplicación, la división, las potencias enteras y las raíces se reducen a productos y sumas de esos dos escalares, por eso todo curso de álgebra y todo cuaderno de fasores acaba pidiendo la forma polar de a más bi. Esta calculadora de forma polar acepta las dos partes reales e imaginarias finitas de un solo operando rectangular, calcula la magnitud con una hipotenusa numéricamente estable y obtiene el argumento con una arcotangente de dos argumentos para que el ángulo caiga en el cuadrante correcto.
Qué registra la forma polar: módulo, argumento e identidad cis
Un número complejo en forma rectangular es el par a más bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria con i al cuadrado igual a menos uno. Representar ese par como un punto en el plano de Argand hace evidente la reescritura polar: la magnitud r es la longitud del segmento desde el origen hasta el punto, y el ángulo theta es el giro dirigido desde el semieje real positivo hasta ese segmento.
Cuando se conocen r y theta, la identidad de Euler escribe el mismo número como r por e elevado a i theta, y la forma trigonométrica lo escribe como r por la cantidad coseno de theta más i seno de theta, a menudo abreviada r cis theta. Las hojas de ingeniería también imprimen el fasor compacto r ángulo theta. Todas esas cadenas describen un solo número; solo cambia la notación.
Se permiten parte real nula o parte imaginaria nula: un número puramente real tiene argumento cero o más o menos pi, y uno puramente imaginario tiene argumento más o menos pi medios. El origen cero más cero i es un par finito, así que esta calculadora devuelve magnitud cero y ángulo cero en lugar de inventar un fallo de argumento indefinido que el contrato no promete.
El campo formula reafirma siempre la identidad magnitud igual a hypot de real e imag, argumento igual a atan2 de imag y real, para que un tutorial muestre la regla junto a la respuesta numérica sin mantener una segunda tabla de contenido.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y validación
En caso de éxito, el cuerpo devuelve por eco los dos coeficientes de entrada redondeados, devuelve magnitude y angle como números redondeados a doce decimales para goldens estables entre entornos, y aporta tres cadenas de visualización: rectangular para la forma original a más bi, polar para el fasor compacto r ángulo theta, y cis para el desarrollo trigonométrico r por coseno más i seno.
Ejemplo: real tres e imag cuatro produce magnitude cinco y angle atan2 de cuatro y tres, unos cero coma nueve dos siete radianes, con cadena polar cinco ángulo ese mismo argumento. El ángulo va siempre en radianes, nunca en grados, porque la forma polar de un número complejo en análisis y en la mayoría de las bibliotecas de programación se define sobre la recta real módulo dos pi, no sobre un círculo de trescientos sesenta grados.
Combine la respuesta con su propio gráfico del plano de Argand si necesita un diagrama; esta capacidad solo convierte un operando rectangular a forma polar y no multiplica, divide ni eleva el resultado a una potencia.
Dónde ahorra trabajo la forma polar
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de forma polar de un número complejo para que quienes aprenden comprueben el módulo y el argumento principal sin invertir el cuadrante cuando a es negativo. Los generadores de exámenes y los complementos de LMS necesitan un oráculo determinista que siempre devuelva el mismo módulo y el mismo ángulo redondeados para los mismos dos coeficientes, lo que el análisis puro de tier A garantiza sin tokens de modelo ni red saliente.
Los scripts de procesamiento de señales y de control suelen almacenar muestras a más bi y necesitan el módulo para la energía y el argumento para desenvolver la fase más adelante en la tubería. La validación fallida no consume saldo. Mantenga las solicitudes pequeñas, fije magnitude y angle en las pruebas y obtendrá forma polar reproducible para tareas, calificación y edge workers sin montar su propia infraestructura de matemática simbólica.
Qué puede hacer con ella
Revisiones de aula y tareas
Permita que el alumnado envíe las partes real e imaginaria de a más bi y verifique el módulo y el argumento principal frente a la forma polar del libro.
Calificación automática en exámenes y LMS
Corrija ítems de forma polar con un oráculo determinista que rechaza partes no finitas y siempre devuelve el mismo argumento en radianes para un par dado.
Cuadernos de fasores e impedancia
Pase impedancias o fasores rectangulares a módulo y ángulo antes de multiplicar funciones de transferencia, sin importar una biblioteca de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo convierto un número complejo de forma rectangular a forma polar?
Envíe dos números finitos: real e imag para z = real + imag·i.
¿El ángulo se devuelve en grados o en radianes?
Solo en radianes. El argumento principal usa atan2 y queda en (−π, π]. Pase a grados usted mismo multiplicando por 180/π si una hoja pide grados.
¿Qué forma polar se obtiene para un real negativo, como −1 + 0i?
Magnitud 1 y ángulo π (unos 3.14159265359 radianes). La arcotangente de dos argumentos sitúa el resultado en el semieje real negativo, en vez de devolver cero como haría una arcotangente ingenua de un argumento de imag/real.
¿Qué ocurre si falta real o imag, es infinito o no es un número?
La entrada inválida no se factura y no devuelve una forma polar parcial.
¿Para qué sirve escribir un número complejo en forma polar?
Para que multiplicar y dividir resulte sencillo: los módulos se multiplican y los ángulos se suman. Las potencias y las raíces siguen el mismo patrón, y por eso los cálculos con fasores en electrotecnia pasan a forma polar antes de combinar valores.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 3,
"imag": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Las partes ausentes o no finitas fallan con invalid_input y no se facturan.
Qué registra la forma polar: módulo, argumento e identidad cis
Algebraicamente r es la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado, que este endpoint evalúa con hypot para que los cuadrados intermedios propensos a desbordarse se comporten bien, y theta es la arcotangente de dos argumentos de b y a, de modo que el resultado queda en el intervalo semiabierto de menos pi a más pi, y no en una sola arcotangente de primer cuadrante que revolvería los signos.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y validación
Envíe por POST un cuerpo JSON con dos números finitos obligatorios: real, el coeficiente a del operando rectangular, e imag, el coeficiente b. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; las cadenas vacías, las claves ausentes, Infinity, NaN y el texto no numérico fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no consumen saldo prepago. Alias opcionales como a, re y real_part se asignan a real, y b, im, imag_part e imaginary se asignan a imag, de modo que los clientes generados y los scripts escritos a mano sigan siendo flexibles.
Dónde rinde una API de forma polar
Los cuadernos de ingeniería eléctrica convierten impedancias y fasores rectangulares a forma polar antes de multiplicar funciones de transferencia, porque los módulos se multiplican y los ángulos se suman; llamar a una API diminuta evita cargar un sistema completo de álgebra computacional por dos operaciones en coma flotante. Como la implementación es análisis puro, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora de forma polar?
La herramienta del navegador es gratuita. Las solicitudes a la API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.