Calculadora de potencias complejas
(1 + i)² es 2i: indique las partes real e imaginaria y un exponente entero, y obtenga la potencia en forma a + bi con el módulo y el ángulo que la producen, sin multiplicaciones largas. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- 1
- Parte imaginaria
- 1
- N
- 2
- Módulo
- 1,4142135624
- Argumento
- 0,7853981634
- Resultado (parte real)
- 0
- Resultado (parte imaginaria)
- 2
Elevar un número complejo a una potencia entera es una tarea habitual en álgebra, trigonometría y trabajo con fasores de ingeniería. Escribir (a+bi)^n por multiplicación repetida resulta lento y propenso a errores cuando crece el exponente, y el desarrollo binomial a mano es tedioso. El teorema de De Moivre convierte la base a forma polar, multiplica el argumento por n, eleva el módulo a n y vuelve a coordenadas rectangulares en un número fijo de pasos. Esta calculadora de potencias de números complejos acepta las partes real e imaginaria de z y un exponente entero n, aplica De Moivre de forma determinista y devuelve el resultado rectangular junto con el módulo y el argumento intermedios para que estudiantes, tutores y scripts de automatización verifiquen cada paso. La base cero se trata con cuidado: las potencias positivas dan cero, mientras que 0^0 y las potencias negativas de cero fallan como entrada inválida.
Teorema de De Moivre y el camino polar hacia z^n
Todo número complejo no nulo z igual a a más b veces i puede escribirse en forma polar como z igual a r veces la suma de cos theta e i sin theta, donde r es el módulo raíz de a al cuadrado más b al cuadrado y theta es el argumento principal dado por atan2 de b y a.
El teorema de De Moivre afirma que para todo entero n la potencia z a la n es igual a r a la n por cos de n theta más i sin de n theta. Esa identidad es todo el algoritmo: calcule r y theta una sola vez, escale el radio con la potencia y el ángulo con el exponente, y expanda con coseno y seno para recuperar las partes rectangulares. Un n positivo estira o encoge el vector y lo gira n veces alrededor del origen.
Un n negativo es la potencia recíproca: r pasa a ser uno sobre r al valor absoluto de n y el ángulo invierte el signo, justo lo que necesita para 1 sobre z a la k. El exponente cero siempre devuelve uno más cero i para cualquier base no nula, en línea con la identidad algebraica z a la cero igual a uno.
Dónde le sirven las potencias de complejos
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de potencias de números complejos para que quien aprende compruebe (a+bi)^n sin expandir binomiales a mano ni perder un signo en la rotación. Los generadores de preparación de exámenes necesitan un oráculo determinista que trate 0^0 y las potencias negativas de cero como fallos duros en lugar de NaN silenciosos que un calificador defectuoso podría aceptar.
Mantenga las solicitudes pequeñas, fije las partes rectangulares redondeadas en las pruebas y obtendrá potencias reproducibles para tareas, complementos de LMS y edge workers sin montar su propia infraestructura de matemática simbólica.
Qué puede hacer con ella
Revisiones de aula y tareas
Permita que el alumnado envíe a, b y un entero n para (a+bi)^n y verifique los resultados rectangulares frente a los pasos de De Moivre sin errores de multiplicación manual.
Calificación automática en exámenes y LMS
Corrija ítems de potencias complejas con un oráculo determinista que rechaza 0^0 y cero a potencia negativa como inválidos, sin inventar nunca una respuesta rectangular.
Cuadernos de fasores y señales
Eleve fasores de ingeniería a+bi a potencias enteras de etapa en scripts sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo elevo un número complejo a una potencia entera?
Envíe números finitos real e imag para z=a+bi, más el entero n.
¿Qué es el teorema de De Moivre en esta calculadora?
Para z = r(cos θ + i sin θ) y entero n, z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)).
¿Puede n ser una fracción o un exponente complejo?
No. Esta capacidad exige un entero finito n.
¿Qué ocurre con un exponente negativo?
Obtiene la potencia recíproca: el módulo pasa a ser uno entre r elevado al valor absoluto del exponente y el ángulo gira en sentido contrario. Es justo lo que necesita para calcular 1 entre z elevado a una potencia.
¿Cuánto vale un número complejo elevado a 0?
Vale 1 para cualquier número distinto de cero, como en el álgebra habitual. Para el propio cero, 0 elevado a 0 y las potencias negativas se rechazan: la primera no está definida y la segunda dividiría entre cero.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1,"n":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1,"n":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"n":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_power",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Contrato de entrada, forma de la respuesta y casos límite
El exponente n debe ser un entero: las potencias fraccionarias exigirían raíces complejas multivaluadas, fuera de este contrato univaluado de potencia entera de De Moivre, de modo que un n no entero se rechaza. Ejemplo: real uno, imag uno, n dos produce módulo raíz de dos, argumento pi sobre cuatro y resultado rectangular cero más dos i, coincidiendo con (1+i)^2 igual a 2i. Envíe por POST un cuerpo JSON con tres números finitos obligatorios: real, la parte real a de la base; imag, la parte imaginaria b; y n, el exponente entero. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; los campos ausentes, las cadenas vacías y los valores no finitos fallan con invalid_input nombrando el campo. También se rechazan valores absolutos de n mayores que un millón para mantener resultados finitos en coma flotante IEEE. Cuando la base es el cero complejo, n mayor que cero devuelve result_real y result_imag ambos cero; n igual a cero falla porque cero a la cero no está definido; n menor que cero falla porque dividiría entre cero. En caso de éxito el cuerpo repite real, imag y n; informa el módulo r y el argumento theta en radianes; da result_real y result_imag redondeados a doce decimales para valores de referencia estables; incluye una cadena de visualización rectangular; y reafirma la fórmula de De Moivre. La validación fallida no se factura; las llamadas exitosas usan el precio base publicado $0.002.
Dónde rinde una API de potencias de complejos
Los cuadernos de ingeniería eléctrica elevan fasores a potencias enteras al modelar ganancias de etapa, polos de filtro o pasos de Fourier discretos; llamar a una diminuta API de análisis evita cargar un sistema completo de álgebra computacional por tres coeficientes y un entero. Como la implementación es análisis puro de tier A, cada llamada exitosa cuesta $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre con 0^0 o cero a una potencia negativa?
Ambos casos fallan con invalid_input. Cero a una potencia positiva devuelve 0+0i. Bases no nulas con n=0 devuelven 1+0i.
¿Cuánto cuesta la calculadora de potencias de números complejos?
La herramienta del navegador es gratuita. Las solicitudes a la API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.