ForHosting KIT · 数学

複素数のべき乗計算

(1 + i)²は2iです。実部と虚部、整数の指数を入力すると、長い掛け算をせずにa + biの形の答えが分かり、もとになる絶対値と角度も確認できます。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

実部: 1
虚部: 1
N: 2

結果

絶対値: 1.4142135624
偏角: 0.7853981634
結果 (実部): 0
結果 (虚部): 2

複素数を整数乗することは、代数・三角法・工学のフェーザ計算で標準的な作業です。繰り返し乗算で (a+bi)^n を書くのは指数が大きくなると遅く誤りやすく、手計算の二項展開は煩雑です。ド・モアブルの定理は底を極形式に直し、偏角を n 倍し、絶対値を n 乗してから固定手順で直交座標へ戻します。本複素数べき乗計算機は z の実部と虚部および整数指数 n を受け取り、De Moivre を決定的に適用し、直交形式の結果と途中の絶対値・偏角を返すため、学習者・指導者・自動化スクリプトが各段階を検証できます。零底は慎重に扱い、正のべきは零を返し、0^0 および零の負べきは無効入力として失敗します。

ド・モアブルの定理と z^n への極形式経路

零でない複素数 z が a プラス b 倍の i のとき、極形式では z は r に cos theta と i sin theta の和を掛けた形で書けます。ここで r は a の二乗と b の二乗の和の平方根である絶対値、theta は atan2 による b と a の主偏角です。

ド・モアブルの定理は、任意の整数 n について z の n 乗が r の n 乗に cos の n theta と i sin の n theta を掛けたものに等しいと述べます。その恒等式がアルゴリズム全体です。r と theta を一度計算し、半径をべきで、角度を指数で拡大し、余弦と正弦で直交成分を復元します。

正の n はベクトルを伸縮し原点まわりに n 回転します。負の n は逆数のべきであり、r は r の絶対値 n 乗の逆数となり角度の符号が反転し、まさに z の k 乗の逆数に必要な操作です。指数零は零でない任意の底に対し常に 1 プラス 0i を返し、z の 0 乗が 1 である代数的恒等式と一致します。

本機能は直交結果の横に途中の絶対値と偏角も返すため、授業デモや単体テストは atan2 を再計算せず極形式の中間値と最終の a プラス bi 文字列の両方を固定できます。

活用例

教室と宿題の確認

学習者に (a+bi)^n の a・b・整数 n を送らせ、手計算の乗算誤りなく De Moivre の手順と直交結果を照合させます。

試験・LMS の自動採点

0^0 と零の負べきを無効として拒否し直交答えを捏造しない決定的オラクルで、複素数べき乗の設問を採点します。

フェーザと信号のノート

完全な計算機代数ライブラリを持ち込まず、スクリプト内で工学フェーザ a+bi を段の整数べきに上げます。

よくある質問

複素数を整数乗するにはどうすればよいですか？

z=a+bi の有限数 real と imag、および整数 n を送ってください。

この計算機におけるド・モアブルの定理とは何ですか？

z = r(cos θ + i sin θ) と整数 n に対し z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)) です。

負の指数ではどうなりますか？

逆数のべき乗になります。絶対値はrを指数の大きさだけ累乗した数の逆数になり、角度は逆向きに回ります。1/zのべき乗を求めたいときにそのまま使えます。

複素数の0乗はいくつですか？

0でない数なら、通常の代数と同じく1です。0そのものについては、0の0乗は定義されず、負の指数は0で割ることになるため、どちらも受け付けません。

指数はどこまで大きくできますか？

整数であれば、絶対値で百万までの指数を扱えます。それを超える指数は結果を有限の数に保つために受け付けず、分数の指数も使えません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real":1,"imag":1,"n":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "real": 1,
    "imag": 1,
    "n": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "real": 1,
    "imag": 1,
    "n": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"real":1,"imag":1,"n":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"n":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "real": 1,
  "imag": 1,
  "n": 2
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.complex_power",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

入力契約・応答形・境界ケース

real は底の実部 a、imag は虚部 b、n は整数指数です。指数 n は整数でなければならず、分数べきは多値の複素根を要し単値の De Moivre 整数べき契約の外なので非整数 n は拒否されます。例：real が 1、imag が 1、n が 2 なら絶対値は根号 2、偏角は pi の四分の一、直交結果は 0 プラス 2i となり (1+i)^2 が 2i と一致します。POST で必須の有限数三つを含む JSON 本体を送ってください。各欄は JSON 数または数値文字列でよく、欠落・空文字・非有限値は欄名付きの invalid_input で失敗します。IEEE 浮動小数で結果を有限に保つため、n の絶対値が百万を超える場合も拒否します。底が複素零のとき、n が正なら result_real と result_imag はともに零、n が零なら 0^0 は未定義のため失敗、n が負なら零除算になるため失敗します。検証失敗は課金されず、成功呼び出しは公開の基本価格 $0.002 を用います。

複素数べき乗 API が役立つ場面

教室や学習支援プラットフォームは複素数べき乗計算機を使い、学習者が二項展開を手で広げず回転の符号を落とさずに (a+bi)^n を確認できるようにします。試験準備ジェネレータには、0^0 と零の負べきを硬い失敗として扱い、不良採点が受け入れかねない静かな NaN にしない決定的オラクルが必要です。電気工学ノートは段利得・フィルタ極・離散フーリエ段をモデルする際にフェーザを整数乗し、小さな parse API を呼べば係数三つと整数一つに対して完全な計算機代数系を引き込む必要がありません。実装は純 parse の tier A のため、成功呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく $0.002 です。リクエストを小さく保ち、丸めた直交成分をテストに固定すれば、自前の記号数学基盤なしで宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けの再現可能なべき乗が得られます。

技術的な質問

0^0 や零の負べきでは何が起きますか？

どちらも invalid_input で失敗します。正のべきの零は 0+0i を返します。零でない底で n=0 なら 1+0i です。

n は分数や複素指数でもよいですか？

いいえ。本機能は有限整数 n を要求します。分数べきは多値の複素根であり、非整数指数は invalid_input として拒否されます。

複素数べき乗計算機の料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料です。API 要求は成功呼び出しあたり $0.002 の KIT 前払い残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →