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複素共役の積計算機

Q: 結果は常に実で非負ですか？

はい。 積 z·z̄ は a²+b² であり、常にゼロ以上の実数です。real と imag がともにゼロのときだけゼロです。

3 + 4iとその共役3 − 4iの積は25です。実部と虚部を入力すると、絶対値の二乗a² + b²が分かり、結果は常に実数で負になることはありません。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

実部: 3
虚部: 4

結果

共役 (実部): 3
共役 (虚部): -4
積: 25
絶対値の2乗: 25

a プラス bi と書かれる複素数 z には、虚部の符号を反転した共役 z バーがあります。複素数とその共役の積は常に実で非負のスカラーになります。(a プラス bi) と (a マイナス bi) の展開は a の二乗と b の二乗の和となり、これは z の絶対値の二乗そのものです。この恒等式はフェーザの正規化、回路のエネルギー計算、信号処理での大きさ確認、および極形式の前に |z| を導入する代数学の授業を支えます。本複素共役の積計算機は、単一の直交形式オペランドの二つの有限な実係数を受け取り、安定した丸めで z に z バーを掛け、積・エコーされた共役成分・直交形式の表示文字列・答えの横に示せる公式文字列を返します。

なぜ z と共役の積が絶対値の二乗になるのか

直交形式の複素数は、実部 a・虚部 b・二乗がマイナス一の虚数単位 i をもつ a プラス bi という実数の対です。z の複素共役は実軸に対する鏡映で得られ、z バーは a マイナス bi です。代数的には差の二乗の恒等式で展開され、(a プラス bi) と (a マイナス bi) は a の二乗から (bi) の二乗を引いたものになります。

i の二乗がマイナス一のため、マイナス (bi) の二乗はプラス b の二乗となり、全体は虚部の残りなく a の二乗と b の二乗の和に縮約されます。幾何学的には原点から点 (a, b) へのベクトルのユークリッド長の二乗であり、教科書が z と z バーの積を |z| の二乗と書く理由です。

結果は常に実で常にゼロ以上であり、a と b がともにゼロのときだけゼロです。自身の共役との積のみです。

活用例

教室と宿題の確認

学習者に z の実部と虚部を提出させ、z と共役の積が a の二乗と b の二乗で虚部の残りがないことを検証させます。

試験と LMS の自動採点

有限でない係数を拒否し、極形式の中間ステップを決して捏造しない決定論的オラクルで、共役積と絶対値の二乗の設問を採点します。

フェーザの電力と大きさのスクリプト

計算機代数の完全なライブラリを入れずに、自動化で回路電力・エネルギー密度・大きさの二乗フィルタ向けに |z| の二乗を計算します。

よくある質問

複素数とその共役の積はどのように計算しますか？

z = a+bi の real (a) と imag (b) の二つの有限数を送ってください。

結果は常に実で非負ですか？

はい。積 z·z̄ は a²+b² であり、常にゼロ以上の実数です。real と imag がともにゼロのときだけゼロです。

絶対値 |z| を返しますか、それとも |z| の二乗だけですか？

二乗していないユークリッド長 |z| が必要ならご自身で平方根を取ってください。

複素数と共役の積は何に使いますか？

平方根を使わずに大きさの二乗が得られます。フェーザーの正規化、回路の電力やエネルギーの計算、信号処理での大きさの二乗の確認、極形式を学ぶ前の代数の練習に使われます。

積が0になるのはどんなときですか？

実部と虚部がどちらも0のとき、つまり数そのものが0のときだけです。それ以外の複素数は原点から離れているので、積は必ず正になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real":3,"imag":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "real": 3,
    "imag": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "real": 3,
    "imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"real":3,"imag":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "real": 3,
  "imag": 4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.complex_conjugate_product",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

欠落または有限でない係数は invalid_input で失敗し、課金されません。

なぜ z と共役の積が絶対値の二乗になるのか

本エンドポイントは極形式への変換はせず、ご自身で平方根を取らない限り二乗していない絶対値は返さず、無関係な二つの複素数の積も行いません。formula フィールドは常に恒等式を再掲し、チュートリアルが数値の答えの横に規則を置けるようにします。

入力契約・応答形・検証

純実数は虚数単位を省略し、純虚数は適切なとき零の実部を省略し、単位係数は 1i ではなく i またはマイナス i と表示し、混合符号は実部と虚部の間に一つのプラスまたはマイナスを使います。図が必要ならご自身のアルガン平面プロットと組み合わせてください。本能力は共役との積のみを計算します。POST で、z の実部 a 用の real と虚部 b 用の imag という二つの必須の有限数を含む JSON 本体を送ってください。各フィールドは JSON 数または数値文字列でよく、空文字列・欠落キー・Infinity・NaN・非数値テキストはフィールド名付きの invalid_input で失敗し、プリペイド残高は消費しません。実部の a, re, real_part, a_real や虚部の b, im, imag_part, a_imag, imaginary などの任意エイリアスは同じ正規名に写像され、生成クライアントと手書きスクリプトの両方に柔軟性があります。例：real 三・imag 四は product 二十五、z 文字列三プラス四 i、共役三マイナス四 i、product_display 二十五です。

共役積 API が役立つ場面

教室とチュータリング基盤は、虚部が負のときの符号誤りなく z と z バーの積が実で a の二乗と b の二乗に等しいことを学習者が確認できるよう、複素共役の積計算機を使います。試験生成器と LMS プラグインは、同じ二つの入力に対して常に同じ丸め積を返す決定論的オラクルを必要とし、純粋パース tier A はモデルトークンや外向きネットワークなしでそれを保証します。回路と信号処理のエンジニアリングノートは、絶対値そのものの平方根の前に、電力・エネルギー密度・大きさの二乗フィルタのため |z| の二乗をしばしば必要とします。小さな API を呼ぶことで、二回の乗算と一回の加算のために本格的な計算機代数系を引き込む必要がなくなります。実装が純粋パースであるため、成功した呼び出しは公開の基準価格 $0.002 です。

技術的な質問

係数が欠ける、または数でない場合はどうなりますか？

タスクはフィールド名付きの invalid_input で失敗します。無効入力は課金されず、部分的な積も返しません。

複素共役の積計算機の料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料です。API リクエストは成功した呼び出しごとに $0.002 のプリペイド KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

複素共役の積計算機

無料で実行

計算例

なぜ z と共役の積が絶対値の二乗になるのか

活用例

教室と宿題の確認

試験と LMS の自動採点

フェーザの電力と大きさのスクリプト

よくある質問

関連ツール

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エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

なぜ z と共役の積が絶対値の二乗になるのか

入力契約・応答形・検証

共役積 API が役立つ場面

技術的な質問

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