複素数の極形式
3 + 4i は絶対値が5、偏角が約0.927ラジアンなので、極形式は 5∠0.927 です。実部と虚部を入力すると、絶対値、正しい象限にある偏角、cis 形式とフェーザ表記が分かります。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 実部
- 3
- 虚部
- 4
- 大きさ
- 5
- 角度
- 0.927295218
- 直交形式
- 3+4i
- 極形式
- 5∠0.927295218002
直交形式で a プラス bi と書かれる複素数は実係数の対ですが、同じ数は長さと向き付きの角としても書き直せます。その書き直しが複素数の極形式です。大きさは絶対値、アルガン平面で原点からのユークリッド距離であり、角は正の実軸から測ったラジアンの主偏角です。乗算、除算、整数乗、根は、その二つのスカラーの積と和に落ちるため、どの代数の授業もフェーザのノートも、やがて a プラス bi の極形式を求めます。この極形式計算機は、一つの直交被演算子の有限な実部と虚部を受け取り、数値的に安定な斜辺で大きさを求め、二引数の逆正接で偏角を求めて正しい象限に角が落ちるようにします。
極形式が記録するもの：絶対値、偏角、cis 恒等式
直交形式の複素数は a プラス bi の対です。a は実部、b は虚部、i は二乗がマイナス 1 となる虚数単位です。その対をアルガン平面の点として描くと、極形式への書き直しは一目で分かります。
大きさ r は原点からその点までの線分の長さ、角 theta は正の実軸からその線分までの向き付きの回転です。theta は b と a の二引数逆正接なので、結果はマイナス pi からプラス pi の半開区間に収まり、符号を取り違える第一象限だけの逆正接にはなりません。
r と theta が分かれば、オイラーの恒等式は同じ数を r かける e の i theta 乗と書き、三角形式は r かける（theta の余弦プラス i かける theta の正弦）と書き、しばしば r cis theta と略します。工学のワークシートは短いフェーザ r 角 theta も印字します。
それらの文字列はどれも一つの数を表し、記法だけが違います。実部ゼロや虚部ゼロは許されます。純実数の偏角は 0 またはプラスマイナス pi、純虚数の偏角はプラスマイナス pi の半分です。
原点の 0 プラス 0i は有限の対なので、この計算機は契約が約束していない未定義偏角の失敗を作らず、大きさ 0 と角 0 を返します。
入力契約、応答の形、検証
real は直交被演算子の係数 a、imag は係数 b です。rectangular は元の a プラス bi、polar は短いフェーザ r 角 theta、cis は三角展開 r かける余弦プラス i 正弦です。
例：real が 3、imag が 4 なら magnitude は 5、angle は 4 と 3 の atan2 でおよそ 0.927 ラジアン、polar 文字列はその偏角付きの 5 です。角は常にラジアンであり度ではありません。
解析でも多くのプログラミングライブラリでも、複素数の極形式は 360 度の円ではなく、二 pi を法とする実直線上で定義されるからです。図が必要なら、ご自身のアルガン平面の描画と応答を組み合わせてください。この能力は一つの直交被演算子を極形式へ変換するだけであり、結果を掛けたり割ったり累乗したりはしません。
後の改修が主枝を黙って変えないよう、回帰試験では丸めた magnitude と angle を固定してください。
極形式が役立つ場面
教室や指導プラットフォームは、複素数の極形式計算機を使い、学習者が a が負のときに象限を取り違えず絶対値と主偏角を確認できるようにします。試験ジェネレータと LMS プラグインは、同じ二つの係数に対して常に同じ丸めの大きさと角を返す決定的な神託を必要とし、純粋パースの tier A はモデルトークンも外向き通信もなしにそれを保証します。
電気工学のノートは伝達関数を掛ける前に直交インピーダンスやフェーザを極形式へ直します。大きさは掛け、角は足すからです。信号処理や制御のスクリプトは a プラス bi の標本を蓄え、エネルギーには絶対値、後段の位相アンラップには偏角を必要とすることが多いです。
検証失敗は残高を消費しません。要求を小さく保ち、試験で magnitude と angle を固定すれば、宿題、採点、エッジワーカー向けに再現可能な極形式が得られ、独自の数式処理基盤を立てる必要はありません。
活用例
教室と宿題の確認
学習者に a プラス bi の実部と虚部を提出させ、教科書の極形式に対して絶対値と主偏角を照合させます。
試験と LMS の自動採点
非有限の部を拒み、与えられた対に対して常に同じラジアン偏角を返す決定的な神託で、極形式の設問を採点します。
フェーザとインピーダンスのノート
伝達関数を掛ける前に直交インピーダンスやフェーザを大きさと角へ直し、数式処理ライブラリを取り込まずに済みます。
よくある質問
複素数を直交形式から極形式へ変換するにはどうすればよいですか？
有限数を二つ送ってください。z = real + imag·i の real と imag です。
返される角は度ですか、ラジアンですか？
ラジアンのみです。 主偏角は atan2 を使い (−π, π] にあります。ワークシートが度を求める場合は、ご自身で 180/π を掛けて度へ直してください。
−1 + 0i のような負の実数では、どの極形式が返りますか？
大きさ 1、角 π（およそ 3.14159265359 ラジアン）です。二引数の逆正接は結果を負の実軸へ置き、imag/real の素朴な一引数逆正接のように 0 を返すことはありません。
複素数を極形式で書くのはなぜですか？
掛け算と割り算が簡単になるためです。絶対値どうしを掛け、偏角どうしを足すだけで済みます。累乗や累乗根も同じ考え方で計算でき、電気工学のフェーザ計算でも極形式がよく使われます。
偏角がマイナスになることがあるのはなぜですか？
偏角を −π から π までの範囲で表すためです。複素平面で実軸より下にある点、つまり虚部が負の数では、偏角がマイナスになります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"real": 3,
"imag": 4
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
欠落または非有限の部は invalid_input で失敗し、課金されません。
極形式が記録するもの：絶対値、偏角、cis 恒等式
代数的には r は a の二乗と b の二乗の和の平方根であり、このエンドポイントは途中の二乗が溢れにくいよう hypot で評価します。formula フィールドは常に、大きさは real と imag の hypot、偏角は imag と real の atan2 という恒等式を述べ直し、教程が別の表を持たずに数値解の横に規則を示せるようにします。
入力契約、応答の形、検証
必須の有限数二つを含む JSON 本体を POST してください。各フィールドは JSON 数でも数値文字列でも構いません。空文字、欠落キー、Infinity、NaN、非数値テキストはフィールド名付きの invalid_input で失敗し、その失敗は前払い残高を消費しません。任意の別名 a、re、real_part は real に、b、im、imag_part、imaginary は imag に対応するので、生成クライアントも手書きスクリプトも柔軟なままです。
極形式 API が役立つ場面
小さな API を呼べば、浮動小数の二演算のために数式処理系一式を引き込む必要はありません。実装は純粋パースなので、成功した呼び出しは公表の基本料金 $0.002 です。
技術的な質問
real または imag が欠ける、無限、あるいは数でない場合はどうなりますか。
タスクはフィールド名付きの invalid_input で失敗します。不正な入力は課金されず、部分的な極形式も返しません。
極形式計算機の料金はいくらですか。
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに $0.002 で KIT の前払い残高を使い、不正な入力は課金されません。