Forma polar de um número complexo
3 + 4i tem módulo 5 e ângulo de cerca de 0,927 radiano, então sua forma polar é 5∠0,927. Digite a parte real e a imaginária e receba o módulo, o ângulo no quadrante correto e as formas cis e fasorial. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
- Magnitude
- 5
- Ângulo
- 0,927295218
- Forma retangular
- 3+4i
- Polar
- 5∠0.927295218002
Um número complexo escrito na forma retangular como a mais bi é um par de coeficientes reais, mas esse mesmo número pode ser reescrito como um comprimento e um ângulo dirigido. Essa reescrita é a forma polar de um número complexo: a magnitude é o módulo, a distância euclidiana à origem no plano de Argand, e o ângulo é o argumento principal em radianos, medido a partir do semieixo real positivo. Multiplicação, divisão, potências inteiras e raízes se reduzem a produtos e somas desses dois escalares, por isso todo curso de álgebra e todo caderno de fasores acaba pedindo a forma polar de a mais bi. Esta calculadora de forma polar aceita as duas partes real e imaginária finitas de um único operando retangular, calcula a magnitude com uma hipotenusa numericamente estável e obtém o argumento com uma arco-tangente de dois argumentos para o ângulo cair no quadrante correto.
O que a forma polar registra: módulo, argumento e identidade cis
Um número complexo na forma retangular é o par a mais bi, em que a é a parte real, b é a parte imaginária e i é a unidade imaginária com i ao quadrado igual a menos um. Representar esse par como um ponto no plano de Argand torna óbvia a reescrita polar: a magnitude r é o comprimento do segmento da origem até o ponto, e o ângulo theta é o giro dirigido do semieixo real positivo até esse segmento.
Quando r e theta são conhecidos, a identidade de Euler escreve o mesmo número como r vezes e elevado a i theta, e a forma trigonométrica o escreve como r vezes a quantidade cosseno de theta mais i seno de theta, muitas vezes abreviada r cis theta. Planilhas de engenharia também imprimem o fasor compacto r ângulo theta. Todas essas strings descrevem um único número; só muda a notação.
Parte real nula ou parte imaginária nula são permitidas: um número puramente real tem argumento zero ou mais ou menos pi, e um puramente imaginário tem argumento mais ou menos pi sobre dois. A origem zero mais zero i é um par finito, então esta calculadora devolve magnitude zero e ângulo zero em vez de inventar uma falha de argumento indefinido que o contrato não promete.
O campo formula reafirma sempre a identidade magnitude igual a hypot de real e imag, argumento igual a atan2 de imag e real, para um tutorial mostrar a regra ao lado da resposta numérica sem manter uma segunda tabela de conteúdo.
Contrato de entrada, forma da resposta e validação
Em caso de sucesso, o corpo ecoa os dois coeficientes de entrada arredondados, devolve magnitude e angle como números arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes, e fornece três strings de exibição: rectangular para a forma original a mais bi, polar para o fasor compacto r ângulo theta, e cis para a expansão trigonométrica r vezes cosseno mais i seno.
Exemplo: real três e imag quatro produz magnitude cinco e angle atan2 de quatro e três, cerca de zero vírgula nove dois sete radianos, com string polar cinco ângulo esse mesmo argumento. O ângulo vai sempre em radianos, nunca em graus, porque a forma polar de um número complexo em análise e na maioria das bibliotecas de programação se define sobre a reta real módulo dois pi, não sobre um círculo de trezentos e sessenta graus.
Combine a resposta com o seu próprio gráfico do plano de Argand se precisar de um diagrama; esta capacidade só converte um operando retangular para a forma polar e não multiplica, divide nem eleva o resultado a uma potência.
Onde a forma polar poupa trabalho
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de forma polar de um número complexo para que aprendizes verifiquem o módulo e o argumento principal sem inverter o quadrante quando a é negativo. Geradores de provas e plugins de LMS precisam de um oráculo determinístico que sempre devolva o mesmo módulo e o mesmo ângulo arredondados para os mesmos dois coeficientes, o que o parse puro tier A garante sem tokens de modelo nem rede de saída.
Scripts de processamento de sinais e de controle costumam armazenar amostras a mais bi e precisam do módulo para energia e do argumento para desenrolar a fase mais adiante no fluxo. A validação malsucedida não consome saldo. Mantenha as solicitações pequenas, fixe magnitude e angle nos testes e obtenha forma polar reproduzível para lição de casa, correção e edge workers sem montar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Casos de uso
Conferências de aula e lição de casa
Permita que estudantes enviem as partes real e imaginária de a mais bi e verifiquem o módulo e o argumento principal perante a forma polar do livro didático.
Correção automática em provas e LMS
Corrija itens de forma polar com um oráculo determinístico que rejeita partes não finitas e sempre devolve o mesmo argumento em radianos para um par dado.
Cadernos de fasores e impedância
Passe impedâncias ou fasores retangulares a módulo e ângulo antes de multiplicar funções de transferência, sem importar uma biblioteca de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como converto um número complexo da forma retangular para a forma polar?
Envie dois números finitos: real e imag para z = real + imag·i.
O ângulo é devolvido em graus ou em radianos?
Somente em radianos. O argumento principal usa atan2 e fica em (−π, π]. Passe para graus você mesmo multiplicando por 180/π se uma planilha pedir graus.
Qual forma polar sai para um real negativo, como −1 + 0i?
Magnitude 1 e ângulo π (cerca de 3.14159265359 radianos). A arco-tangente de dois argumentos coloca o resultado no semieixo real negativo, em vez de devolver zero como faria uma arco-tangente ingênua de um argumento de imag/real.
O que acontece se real ou imag faltar, for infinito ou não for um número?
Entrada inválida não é cobrada e não devolve uma forma polar parcial.
Para que serve escrever um número complexo na forma polar?
Para que multiplicar e dividir fique simples: os módulos se multiplicam e os ângulos se somam. Potências e raízes seguem o mesmo padrão, e por isso os cálculos com fasores na engenharia elétrica passam para a forma polar antes de combinar valores.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 3,
"imag": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Partes ausentes ou não finitas falham com invalid_input e não são cobradas.
O que a forma polar registra: módulo, argumento e identidade cis
Algebricamente r é a raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado, que este endpoint avalia com hypot para que os quadrados intermediários propensos a estouro se comportem bem, e theta é a arco-tangente de dois argumentos de b e a, de modo que o resultado fique no intervalo semiaberto de menos pi a mais pi, e não numa única arco-tangente de primeiro quadrante que embaralharia os sinais.
Contrato de entrada, forma da resposta e validação
Envie por POST um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: real, o coeficiente a do operando retangular, e imag, o coeficiente b. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; strings vazias, chaves ausentes, Infinity, NaN e texto não numérico falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não consomem saldo pré-pago. Aliases opcionais como a, re e real_part mapeiam para real, e b, im, imag_part e imaginary mapeiam para imag, de modo que clientes gerados e scripts escritos à mão permaneçam flexíveis.
Onde uma API de forma polar rende o investimento
Cadernos de engenharia elétrica convertem impedâncias e fasores retangulares para a forma polar antes de multiplicar funções de transferência, porque módulos se multiplicam e ângulos se somam; chamar uma API pequena evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por duas operações em ponto flutuante. Como a implementação é parse puro, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de forma polar?
A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações à API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.