Forma polar de um complexo
Escreva um número complexo pelo tamanho e pela direção: 3 + 4i tem módulo 5 e argumento de cerca de 53,13°, então fica 5∠53,13°. Você também recebe a forma com cosseno e seno. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
- Módulo
- 5
- Argumento (graus)
- 53,1301023542
- Argumento (rad)
- 0,927295218
- Forma retangular
- 3+4i
Números complexos na forma retangular a mais b i são naturais para somar e para ler as partes real e imaginária, mas multiplicação, divisão, potências e raízes quase sempre ficam mais simples quando o mesmo número está na forma polar ou trigonométrica. Esta calculadora de forma retangular para polar de números complexos aceita a parte real a e a parte imaginária b, calcula o módulo r como o comprimento euclidiano do vetor da origem ao ponto (a, b), e obtém o argumento principal com um arco-tangente de dois argumentos para que cada quadrante fique correto. A resposta devolve o argumento em graus e em radianos, além de cadeias de exibição polar e trigonométrica prontas para copiar: r ângulo theta graus e r vezes cosseno de theta mais i seno de theta.
Forma retangular, polar e trigonométrica de um número complexo
Qualquer número complexo z igual a a mais b i identifica-se com o ponto (a, b) no plano complexo. A forma retangular nomeia diretamente as coordenadas horizontal e vertical: a é a parte real e b a imaginária. A forma polar nomeia o mesmo ponto pela distância à origem e pela direção em relação ao eixo real positivo.
A distância é o módulo r, igual à raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado, escrito |z|. A direção é o argumento theta igual a arg de z, tomado por convenção no intervalo principal de menos cento e oitenta a mais cento e oitenta graus, ou de menos pi a pi em radianos. Com r e theta conhecidos, z pode escrever-se como r no ângulo theta, ou na forma trigonométrica como r vezes cosseno de theta mais i seno de theta.
Essas identidades fundamentam o teorema de De Moivre, convertem produtos em produtos de módulos e somas de argumentos, e permitem achar raízes como raios equiespaçados num círculo. Quem só expande potências com o binômio em a mais b i costuma errar na álgebra de um jeito que some após uma conversão retangular para polar correta.
Quando a forma polar simplifica o trabalho
Salas de álgebra e pré-cálculo usam uma calculadora de forma retangular para polar de números complexos para que aprendizes verifiquem módulo e argumento de a e b arbitrários sem misturar quadrantes nem o modo graus versus radianos de uma calculadora de mão. Geradores de exames e plugins de LMS precisam de um oráculo determinístico que marque a origem como caso especial conhecido em vez de falhar ou inventar um ângulo aleatório. Validação falha não consome saldo.
Mantenha requisições pequenas, fixe nos testes o módulo e o argumento arredondados, e obtenha formas polar e trigonométrica reproduzíveis para lição de casa, correção e workers de borda sem montar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Casos de uso
Sala de aula e checagem de lição de casa
Permita que estudantes enviem real e imag de z = a+bi e verifiquem o módulo, o argumento principal em graus e a string da forma trigonométrica frente aos métodos do livro.
Fasores e cadernos de engenharia
Converta fasores retangulares a+bi em magnitude e fase polar antes de produtos e quocientes sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como converto um número complexo da forma retangular para a polar?
Envie números finitos real (a) e imag (b) para z = a+bi.
Qual quadrante o argumento usa?
O arco-tangente de dois argumentos atan2(imag, real) coloca θ no quadrante correto sobre (−180°, 180°] (ou (−π, π] em radianos), incluindo os eixos.
Qual é a forma polar de 3 + 4i?
O módulo é 5, a raiz quadrada de 3² + 4², e o argumento é de cerca de 53,13°, medido a partir do eixo real positivo. Assim, 3 + 4i fica 5∠53,13° na forma polar.
O que acontece com o número complexo 0 + 0i?
O módulo é 0 e o argumento é fixado em 0° por convenção, porque na origem não há direção definida. O resultado vem marcado como origem, para você saber que esse ângulo não tem significado.
Por que a forma polar facilita multiplicar números complexos?
Na forma polar você multiplica os módulos e soma os argumentos, em vez de desenvolver parênteses. Potências e raízes ficam igualmente simples, que é a ideia do teorema de De Moivre.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 3,
"imag": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.rectangular_to_polar_complex",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A origem zero mais zero i é tratada como caso especial: módulo zero e argumento zero graus por convenção, com o indicador is_origin para que clientes não tratem um ângulo indefinido como falha silenciosa.
Forma retangular, polar e trigonométrica de um número complexo
Este endpoint faz só essa conversão: não eleva z a uma potência nem resolve equações; devolve módulo, argumento e as duas cadeias padrão para que o próximo cálculo parta de uma representação polar verificada.
Contrato de entrada, caso da origem e campos da resposta
Exemplo: real igual a três e imag igual a quatro produz módulo cinco e argumento cerca de cinquenta e três vírgula treze graus, porque três-quatro-cinco é o triângulo retângulo clássico do primeiro quadrante. Exemplo: real igual a menos um e imag igual a zero produz módulo um e argumento cento e oitenta graus, sempre no eixo real negativo. Envie um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: real, a parte real a de z igual a a mais b i, e imag, a parte imaginária b. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não são cobradas. Em sucesso o corpo ecoa real e imag arredondados para exibição estável, informa o módulo como número não negativo, informa argument_deg e argument_rad do argumento principal, e define is_origin como false para todo z não nulo. A string retangular reescreve a mais b i para telas didáticas; polar_form usa a notação angular r ângulo theta graus; trigonometric_form escreve r parênteses cos de theta graus mais i sin de theta graus. A origem zero mais zero i é o caso especial documentado: o módulo é zero, argument_deg e argument_rad são zero por convenção porque arg de zero é indefinido de outro modo, is_origin é true, e ambas as strings polar e trigonométrica são simplesmente zero. Combine a resposta com seu próprio código de diagrama se precisar de um esboço do raio; este endpoint devolve apenas números e strings.
Onde uma API de forma polar complexa vale a pena
Cadernos de engenharia elétrica convertem fasores de impedância retangular para magnitude e fase polar antes de multiplicar redes em série e paralelo; chamar uma pequena API de parse evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por dois coeficientes. Como a implementação é parse de nível A puro, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Provas e correção automática LMS
Corrija itens de retangular para polar com um oráculo determinístico que trata a origem como r=0 e θ≡0° e nunca inventa ângulo para entrada não finita.
Perguntas técnicas
O que acontece na origem 0+0i?
A origem é um caso especial: o módulo é 0, argument_deg e argument_rad são 0 por convenção, is_origin é true, e as formas polar/trigonométrica são a string "0". Arg(0) é indefinido de outro modo.
O argumento volta em graus ou em radianos?
Em ambos. argument_deg é o argumento principal em graus; argument_rad é o mesmo ângulo em radianos a partir de atan2(imag, real).
Quanto custa a calculadora de forma retangular para polar complexa?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.